/LMAR=50/TMAR=50/RMAR=1700/BMAR=1/PMAR=0/XLINE=0/FONT#0=NGR13/USETI=0000062*TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX*

␈β↓G␈↓ ↓@␈ε<Ans␈α␈w␈α}er␈α␈s␈α∃t␈α␈o␈α∃P␈α␈ro␈α␈blem␈α∀Set␈↓ εl␈ε<1␈α∀-␈α∃Due␈α∃Apr␈α␈il␈α∀10␈α␈,␈α∃1␈α␈97␈α␈9
␈β↓R␈↓ εZ␈ε6q
␈βαt␈↓ ¬`␈ε2Question␈ε6␈αq␈ε21.
␈ββ2␈↓ ↓c␈ε1If␈αw␈α␈e␈αr␈α␈epres␈α␈en␈α␈t␈αsums␈αand␈αpro␈α↓duc␈α␈ts␈αas␈αindi␈α␈cated␈αabov␈α␈e,␈αand␈αuse␈ε4␈α(MINUS␈αX␈α↓)␈ε1,␈ε4␈α(QUOTIENT␈αX
␈ββM␈↓ π↔␈ε,x␈↓ π␈␈ε,y
␈ββR␈↓ ↓l␈ε4Y)␈ε1,␈α
and␈ε4␈α
(PO␈α␈WER␈α
X␈α
Y␈α↓)␈ε1,␈α	a␈α↓s␈α
re␈α␈prese␈α␈nt␈α␈a␈α↓ti␈α␈ons␈αof␈ε8␈α
␈␈↓ εq␈ε*x␈↓ π↓␈ε1,␈↓ π3␈ε1a␈α↓nd␈↓ πo␈ε*x␈↓ λ_␈ε1re␈α␈spect␈α␈iv␈α␈el␈α␈y,␈α
the␈α␈n
␈ββ←␈↓ π↔␈∧β←π↔α∂␈↓ π↔␈ε,y
␈ββr␈↓ ↓f␈ε1a␈α↓.␈↓ α∀␈ε1What␈α
do␈αthe␈α	f␈α↓ol␈α␈lo␈α␈wing␈α
li␈α␈sts␈α
repre␈α␈sen␈α␈t?
␈β∧∪␈↓ α\␈ε4(QUOTIE␈α↓NT␈α
2␈α
(␈α↓P␈α␈O␈α␈WER␈α
(␈α↓P␈α␈LUS␈α
(MI␈α↓N␈α␈U␈α↓S␈α
Y)␈α
3␈α↓))
␈β∧3␈↓ α\␈ε4(PLUS␈α
-2␈α(MINUS␈α
2␈α↓)␈α
((TI␈α↓MES␈α
X␈α(PO␈α␈W␈α␈E␈α↓R␈α
Y␈α
3.3))␈α↓)
␈β∧R␈↓ ε$␈ε:␈␈ε&3
␈β∧W␈↓ ↓f␈ε1b.␈↓ α∀␈ε1How␈α
are␈α
the␈α
e␈α␈xpressons␈↓ ∧X␈ε*x␈↓ ∧h␈ε*y␈↓ ∧y␈ε*z␈↓ ¬␈ε$+␈απ3(␈↓ ¬K␈ε*u␈↓ ¬d␈ε$+␈↓ ε
␈ε*v␈↓ ε~␈ε$)␈↓ εT␈ε1and␈ε$␈α
(␈↓ π~␈ε*x␈↓ π)␈ε*y␈↓ πA␈ε8␈␈↓ πg␈ε*y␈↓ πw␈ε*x␈↓ λπ␈ε$)␈α↓/(␈↓ λ+␈ε*x␈↓ λ;␈ε*y␈↓ λS␈ε$+␈↓ λx␈ε*y␈↓ 		␈ε*x␈↓ 	→␈ε$)␈ε1␈α
repre␈α␈sen␈α␈te␈α␈d?
␈β¬∀␈↓ ↓H␈ε2Answ␈α␈er
␈β¬→␈↓ α;␈ε1:
␈β¬1␈↓ ↓H␈∧¬1↓Hαt
␈β¬@␈↓ α␈ε)N␈↓ α+␈ε)O␈↓ αC␈ε)T␈↓ αZ␈ε)E␈↓ αq␈ε0:␈α
The␈απ\su␈α␈ms␈αλa␈α␈nd␈απp␈α␈rodu␈α␈cts␈απas␈αλin␈α␈dicate␈α␈d␈αλa␈α␈bo␈α}v␈α␈e"␈απmen␈α}ti␈α↓o␈α␈ne␈α␈d␈αλa␈α␈bo␈α␈v␈α}e␈αλm␈α␈ay␈απbe␈↓ 
o␈ε)n␈↓ β␈ε0-ary
␈β¬Z␈↓ α␈∧¬Zααf
␈β¬g␈↓ ↓H␈ε0↑␈α
not␈αju␈α␈st␈αbin␈α␈ary.
␈βε␈↓ α@␈ε&2
␈βε∂␈↓ ↓H␈ε#a␈↓ ↓Z␈ε#1.
␈βε≥␈↓ αβ␈∧ε≥αβα↓λ
␈βε∨␈↓ α␈␈ε'3
␈βε#␈↓ αβ␈ε&(␈↓ α␈ε,X␈↓ α!␈ε&+(␈ε:␈␈↓ α[␈ε,Y␈↓ αo␈ε&)␈↓ αw␈ε&)
␈βε;␈↓ ∧3␈ε&3␈α␈.3
␈βε?␈↓ ↓Z␈ε#2.␈↓ ↓␈␈ε7␈␈ε#2␈απ+␈ε7␈αλ␈␈ε#2␈αλ+␈απ(␈↓ βN␈ε)X␈↓ βq␈ε7α␈↓ ∧~␈ε)Y␈↓ ∧S␈ε#)
␈βεf␈↓ ↓H␈ε#b␈↓ ↓Z␈ε#1.␈↓ ↓␈␈ε3(P␈α↓L␈α␈US␈α(TIM␈α␈E␈α↓S␈α
X␈αY␈αZ␈α↓)␈α(TIMES␈α3␈α
(␈α↓PO␈α␈WER␈α(␈α↓PL␈α␈US␈αU␈αV)␈α(MINUS␈α3␈α␈)␈α)␈α)␈α)
␈βπ∞␈↓ ↓Z␈ε#2.␈↓ ↓␈␈ε3(QUOTIENT␈α(␈α↓PL␈α␈US␈α(TIMES␈αX␈αY)␈α(MINUS␈α
(TI␈α↓M␈α␈ES␈αY␈αX)␈α)␈α)
␈βπ6␈↓ αG␈ε3(P␈α↓L␈α␈US␈α(TIM␈α␈E␈α↓S␈α
X␈αY)␈α(TIM␈α␈E␈α↓S␈α
Y␈αX)␈α)␈α)
␈βλ<␈↓ ¬g␈ε3Questio␈α␈n␈ε7␈αq␈ε32␈α␈.
␈βλv␈↓ ↓b␈ε1\Repre␈α␈sen␈α␈t␈αthe␈α
net␈α␈w␈α␈ork␈αor␈αgraph␈αacconrdi␈α␈ng␈αto␈αa␈αsche␈α␈me␈α
whereby␈α
there␈α
is␈α
a␈αsubli␈α␈st␈αfor␈αeac␈α␈h
␈β	↔␈↓ ↓l␈ε1v␈α␈e␈α␈rtex␈α
consi␈α␈sting␈α
of␈αthe␈α	ve␈α␈rtex␈α
i␈α␈tsel␈α␈f␈αfoll␈α␈ow␈α␈e␈α␈d␈αby␈α
the␈α
v␈α␈e␈α␈rtic␈α␈es␈α
to␈α
which␈α
i␈α␈t␈α
is␈α
conne␈α␈cted.␈α␈"
␈β	8␈↓ α␈ε1In␈αthe␈α
abov␈α␈e␈α
me␈α␈n␈α␈tioned␈α
g␈α↓raph␈αnotati␈α␈o␈α↓n,␈α
what␈αgraph␈αis␈α
repre␈α␈sen␈α␈te␈α␈d␈αby␈αt␈α␈he␈αl␈α␈ist␈ε4␈α
((␈α↓A␈α
D␈αE␈αF)
␈β	X␈↓ ↓H␈ε4(B␈α
D␈α
E␈αF)␈α(C␈α
D␈α
E␈αF)␈α(D␈α
A␈α
B␈αC␈α␈)␈α(E␈αA␈α
B␈αC␈α␈)␈α(F␈αA␈α
B␈α
C))␈ε1␈α↓?
␈β
∃␈↓ ↓H␈ε2Answ␈α␈er
␈β
_␈↓ α[␈ε#Th␈α␈is␈αg␈α␈rap␈α␈h,␈↓ ∧
␈ε)L␈↓ ∧B␈ε#,␈αco␈α␈rrespo␈α␈nd␈α␈s␈αt␈α␈o␈αt␈α␈he␈α
famo␈α␈us␈ε0␈α
Gas,␈α
W␈α↓a␈α␈ter␈α
and␈α
Electr␈α␈i␈α↓c␈α
Gra␈α␈ph␈ε#␈α
↑
␈β
~␈↓ α;␈ε1:
␈β
#␈↓ ∧"␈ε&3,3
␈β
2␈↓ ↓H␈∧
2↓Hαt
␈β
@␈↓ ↓H␈ε#wh␈α␈ere␈αea␈α␈ch␈αo␈α␈f␈αt␈α␈hese␈αth␈α␈ree␈αu␈α␈til␈α↓ities␈αh␈α␈ook␈α
up␈α
to␈αeac␈α␈h␈αof␈αth␈α␈ree␈αh␈α␈ous␈α␈es.␈αS␈α␈ee␈αFigu␈α␈re␈α1␈αat␈αe␈α␈nd
␈β
h␈↓ ↓H␈ε#o␈α␈f␈αa␈α␈nsw␈α␈er␈αse␈α␈t.
␈βn␈↓ ¬g␈ε3Questio␈α␈n␈ε7␈αq␈ε33␈α␈.
␈β(␈↓ ↓a␈ε1W␈α␈rite␈α
t␈α␈he␈α
li␈α␈st␈ε4␈α
(␈α↓P␈α␈LUS␈α
(TI␈α↓MES␈α
X␈αY)␈α
X␈α3)␈ε1␈α
a␈α↓s␈α
an␈α
S-E␈α↓xpre␈α␈ssion.␈α
Thi␈α␈s␈α
is␈α
some␈α␈tim␈α␈es␈α
re␈α␈f␈α↓e␈α␈rred␈α
to␈α
a␈α↓s
␈βI␈↓ ↓l␈ε1\dot-no␈α↓tati␈α␈o␈α↓n".
␈β
ε␈↓ ↓H␈ε2Answ␈α␈er
␈β
␈↓ α;␈ε1:
␈β
#␈↓ ↓H␈∧
#↓Hαt
␈β
1␈↓ α␈ε)N␈↓ α+␈ε)O␈↓ αC␈ε)T␈↓ αZ␈ε)E␈↓ αq␈ε0:␈α
The␈αha␈α␈nd␈α␈out␈αsho␈α}we␈α␈d␈↓ ¬D␈ε#(␈↓ ¬[␈ε3(PL␈α␈US␈α(TIM␈α␈E␈α↓S␈αX␈αY)␈αX␈α3␈α␈)␈ε0.␈α∞Th␈α␈e␈αex␈α␈tra␈α|rst␈α\␈ε3␈α␈(␈ε0"␈αwa␈α␈s
␈β
K␈↓ α␈∧
Kααf
␈β
S␈↓ ¬D␈∧
S¬Dα
␈β
Y␈↓ ↓H␈ε0a␈α
typ␈α␈o.
␈β
z␈↓ α␈ε↓␈ ␈↓ β→␈ε↓␈ ␈↓ λ≥␈ε↓!␈↓ λ4␈ε↓!
␈β∞¬␈↓ β0␈ε↓∩␈↓ ε(␈ε↓∪
␈β∞≡␈↓ ∧R␈ε"(␈↓ ε≤␈ε")␈↓ εO␈ε"(␈↓ λ⊃␈ε")
␈β∞!␈↓ α#␈ε)P␈↓ α;␈ε)L␈↓ αQ␈ε)U␈↓ αl␈ε)S␈↓ βλ␈ε#.␈↓ βF␈ε)T␈↓ β]␈ε)I␈↓ βl␈ε)M␈↓ ∧∞␈ε)E␈↓ ∧%␈ε)S␈↓ ∧A␈ε#.␈↓ ∧↑␈ε)X␈↓ ¬↓␈ε#.␈απ(␈↓ ¬≥␈ε)Y␈↓ ¬=␈ε#.␈↓ ¬M␈ε)N␈↓ ¬l␈ε)I␈↓ ¬{␈ε)L␈↓ ε⊃␈ε#)␈↓ ε>␈ε#.␈↓ ε[␈ε)X␈↓ ε}␈ε#.␈αλ(3␈απ.␈↓ πB␈ε)N␈↓ πa␈ε)I␈↓ πp␈ε)L␈↓ λε␈ε#)␈↓ λK␈ε#.␈α⊃If␈α∞y␈α}ou␈αha␈α␈d␈α
tro␈α␈ub␈α␈l␈α↓e␈αcon␈α␈-
␈β∞i␈↓ ↓H␈ε#str␈α␈uctin␈α␈g␈αthis,␈αtry␈αd␈α␈rawing␈α
|rst␈αth␈α␈e␈αLISP␈αCell␈α↓s.␈αS␈α␈ee␈αFi␈α↓g␈α␈ure␈α2␈α
at␈αen␈α␈d␈αof␈αa␈α␈nsw␈α␈er␈αset.
␈β∂.␈↓ ε:␈ε"1
␈β⊃∂

␈β↓U␈↓ ¬g␈ε3Questio␈α␈n␈ε7␈αq␈ε34␈α␈.
␈βα⊂␈↓ ↓a␈ε1W␈α␈rite␈α
t␈α␈he␈α
fo␈α↓l␈α␈lo␈α␈wing␈α
S-␈α↓Expre␈α␈ssions␈α
in␈α
l␈α␈ist␈α
notation␈α
to␈αwhatev␈α␈e␈α␈r␈α
exte␈α␈nt␈α
i␈α␈s␈α
po␈α↓ss␈α␈ibl␈α␈e.
␈βα0␈↓ ↓f␈ε1a␈α↓.␈↓ α
␈ε4(A␈α
.␈α
NIL␈α↓)
␈βαQ␈↓ ↓f␈ε1b.␈↓ α
␈ε4(A␈α
.␈α
B␈α↓)
␈βαq␈↓ ↓f␈ε1c.␈↓ α
␈ε4((A␈α.␈α	NIL␈α↓)␈α
.␈α
B)
␈ββ⊃␈↓ ↓f␈ε1d.␈↓ α
␈ε4((A␈α.␈α	B␈α↓)␈α
.␈α
((C␈α
.␈α
D)␈α
.␈α
NIL)
␈ββO␈↓ ↓H␈ε2Answ␈α␈er
␈ββR␈↓ α\␈ε#One␈αc␈α␈an␈αa␈α␈pp␈α␈l␈α↓y␈α
the␈αru␈α␈les:
␈ββT␈↓ α;␈ε1:
␈ββl␈↓ ↓H␈∧βl↓Hαt
␈β∧∨␈↓ ∧6␈ε3(␈ε0␈α<exp␈α␈r>␈ε3␈α.␈αNIL␈α)␈↓ εH␈ε7)␈ε3␈απ(␈ε0␈α<ex␈α␈pr>␈ε3␈α)
␈β∧F␈↓ β ␈ε3(␈ε0␈α<␈α↓e␈α␈xp␈α␈r-1>␈ε3␈α.␈α(␈ε0<ex␈α␈pr-2>␈ε3)␈α)␈↓ εH␈ε7)␈ε3␈απ(␈ε0␈α<ex␈α␈pr-1␈α␈>␈α<ex␈α␈pr-2>␈ε3␈α)
␈β¬∀␈↓ ↓H␈ε#[wh␈α␈ere␈ε0␈αλ<exp␈α␈r>␈ε#,␈ε0␈α	<exp␈α␈r-1>␈ε#␈αλan␈α␈d␈ε0␈αλ<ex␈α␈pr-2>␈ε#␈αλa␈α␈re␈αλall␈αλS-ex␈α␈pre␈α␈ssi␈α↓o␈α␈ns,]␈α	to␈απderiv␈α}e␈αλthe␈απan␈α␈sw␈α␈ers:
␈β¬<␈↓ ↓i␈ε#a.␈↓ α⊂␈ε3(A)
␈β¬c␈↓ ↓i␈ε#b␈α␈.␈↓ α⊂␈ε3(A␈α.␈αB␈α↓)␈↓ ∧
␈ε#i.e.␈αno␈α
cha␈α␈nge
␈βε␈↓ ↓i␈ε#c.␈↓ α⊂␈ε3((A)␈α.␈αB)
␈βε3␈↓ ↓i␈ε#d␈α␈.␈↓ α⊂␈ε3((A␈α.␈αB␈α↓)␈α(C␈α.␈αD))
␈βπ:␈↓ ¬g␈ε3Questio␈α␈n␈ε7␈αq␈ε35␈α␈.
␈βπv␈↓ ↓d␈ε1Ho␈α␈w␈αw␈α␈ould␈αy␈α␈ou␈αr␈α␈epres␈α␈en␈α␈t␈αpol␈α␈yno␈α↓m␈α␈ials␈αi␈α␈n␈αone␈αva␈α↓ri␈α␈able␈αas␈αl␈α␈ists?␈α∞Can␈αyou␈αthink␈αo␈α↓f␈αmore␈αthan
␈βλ⊗␈↓ ↓l␈ε1one␈α	way?␈α
How␈α	w␈α␈o␈α↓ul␈α␈d␈α
y␈α␈ou␈α	repre␈α␈sen␈α␈t␈α	po␈α↓l␈α␈ynomi␈α␈a␈α↓l␈α␈s␈α
i␈α␈n␈α	sev␈α␈eral␈α	vari␈α␈a␈α↓bl␈α␈es?␈α
C␈α␈a␈α↓n␈α	y␈α␈ou␈α
te␈α␈ll␈α	i␈α␈f␈α
t␈α␈w␈α␈o␈α
l␈α␈ists
␈βλ6␈↓ ↓l␈ε1re␈α␈prese␈α␈n␈α␈t␈α
the␈α
same␈α
pol␈α␈yno␈α↓m␈α␈ial?
␈βλt␈↓ ↓H␈ε2Answ␈α␈er
␈βλw␈↓ α`␈ε#There␈αare␈α
sev␈α}eral␈α
p␈α␈ossible␈α
an␈α␈sw␈α␈ers.␈α⊃[An␈α
ab␈α␈bre␈α␈viated␈αv␈α␈e␈α␈rsi␈α↓o␈α␈n␈α
of␈α
a␈α␈n␈α
su␈α␈bset␈α
o␈α␈f
␈βλy␈↓ α;␈ε1:
␈β	⊃␈↓ ↓H␈∧	⊃↓Hαt
␈β	∨␈↓ ↓H␈ε#th␈α␈e␈αfo␈α␈l␈α↓lo␈α␈win␈α␈g␈αw␈α␈o␈α␈uld␈αcon␈α␈stitute␈αan␈αacc␈α␈epta␈α␈ble␈αa␈α␈nsw␈α␈er.]␈α
Th␈α␈e␈αmo␈α␈st␈αob␈α␈vio␈α␈us␈αe␈α␈nco␈α␈ding␈αis␈αto
␈β	B␈↓ πY␈ε,n␈↓ λz␈ε,n␈↓ 	
␈ε:␈␈ε&␈α↓1
␈β	G␈↓ ↓H␈ε#to␈α
pre␈α␈cisely␈αre␈α␈prese␈α␈n␈α␈t␈αth␈α␈e␈αp␈α␈olyn␈α␈omial␈αitself.␈αThen␈↓ π≡␈ε)a␈↓ π>␈ε)X␈↓ πq␈ε#+␈↓ λ→␈ε)a␈↓ λ←␈ε)X␈↓ 	7␈ε#+␈↓ 	`␈ε7↓␈α¬↓␈αε↓␈↓ 
∪␈ε#+␈↓ 
;␈ε)a␈↓ 
W␈ε)X␈↓ 
z␈ε#+␈↓ "␈ε)a
␈β	Q␈↓ π-␈ε,n␈↓ λ(␈ε,n␈↓ λ9␈ε:␈␈ε&1␈↓ 
K␈ε&1␈↓ 2␈ε&0
␈β	n␈↓ ↓H␈ε#w␈α␈o␈α␈uld␈α
be␈αtra␈α␈nsfo␈α␈rmed␈α
to␈ε3␈α(PL␈α␈US␈α(TIMES␈α
a␈↓ εM␈ε3(PO␈α␈W␈α↓ER␈αX␈α
n)␈α)␈α(TIMES␈α
a␈↓ 
∪␈ε3(PO␈α␈WE␈α↓R␈α
X
␈β	y␈↓ ε2␈ε,n␈↓ 	R␈ε,n␈↓ 	b␈ε:␈␈ε&1
␈β
⊗␈↓ ↓H␈ε3n␈α␈-1)␈α)␈↓ α"␈ε7↓␈αε↓␈αε↓␈↓ αZ␈ε3(TIMES␈↓ βY␈ε)a␈↓ ∧↓␈ε3(PO␈α␈WE␈α↓R␈αX␈α1␈α␈)␈α)␈α(TIMES␈αa␈↓ π≥␈ε3(PO␈α␈W␈α↓ER␈αX␈α0)␈α)␈α)␈ε#.
␈β
 ␈↓ βi␈ε&1␈↓ π¬␈ε&0
␈β
>␈↓ α␈ε#Oth␈α␈er␈αsolution␈α␈s␈αmak␈α}e␈αu␈α␈se␈αof␈αthe␈αfac␈α␈t␈αth␈α␈at␈αw␈α␈e␈αare␈αde␈α␈ali␈α↓n␈α␈g␈αwith␈αa␈αpo␈α␈l␈α↓y␈α␈no␈α␈mial␈αi␈α↓n␈α
one
␈β
f␈↓ ↓H␈ε#v␈α␈ariab␈α␈le.␈αM␈α␈erely␈απl␈α↓isting␈απthe␈απcoe}␈α␈cien␈α␈ts␈αλin␈απascen␈α␈din␈α␈g␈αλ(or␈αλd␈α␈escen␈α␈din␈α␈g)␈αλord␈α␈er␈αλis␈αλa␈αλstra␈α␈igh␈α␈tfo␈α␈r-
␈β	␈↓ ¬D␈ε,n␈↓ εd␈ε,n␈↓ εt␈ε:␈␈ε&1
␈β
␈↓ ↓H␈ε#wa␈α␈rd␈α
rep␈α␈resetat␈α␈i␈α↓o␈α␈n.␈αThis␈α
sam␈α␈e␈↓ ¬	␈ε)a␈↓ ¬)␈ε)X␈↓ ¬[␈ε#+␈↓ εβ␈ε)a␈↓ εH␈ε)X␈↓ π ␈ε#+␈↓ πH␈ε7↓␈αε↓␈αε↓␈↓ π{␈ε#+␈↓ λ#␈ε)a␈↓ λ?␈ε)X␈↓ λa␈ε#+␈↓ 	λ␈ε)a␈↓ 	/␈ε#co␈α␈uld␈α
be␈α
e}␈α␈cien␈α␈tly
␈β_␈↓ ¬_␈ε,n␈↓ ε∩␈ε,n␈↓ ε"␈ε:␈␈ε&␈α↓1␈↓ λ2␈ε&1␈↓ 	_␈ε&0
␈β5␈↓ ↓H␈ε#re␈α␈prese␈α␈n␈α␈ted␈αa␈α␈s␈α
e␈α␈i␈α↓th␈α␈er␈ε3␈α(a␈↓ ∧C␈ε3a␈↓ ¬≡␈ε7↓␈αε↓␈αε↓␈↓ ¬Q␈ε3a␈↓ ¬{␈ε3a␈↓ ε_␈ε3)␈ε#␈α
o␈α␈r␈ε3␈α
(a␈↓ π∞␈ε3a␈↓ π8␈ε7↓␈αε↓␈αε↓␈↓ πk␈ε3a␈↓ λF␈ε3a␈↓ λn␈ε3)␈ε#␈α↓.␈α∂[Forgiv␈α}e␈α
th␈α␈e␈αdot␈α␈-␈α↓lik␈α␈e
␈β@␈↓ ∧∨␈ε,N␈↓ ∧T␈ε,N␈↓ ∧l␈ε:␈␈ε&1␈↓ ¬b␈ε&1␈↓ ε␈ε&0␈↓ εu␈ε&0␈↓ π∨␈ε&1␈↓ π|␈ε,N␈↓ λ∀␈ε:␈␈ε&1␈↓ λW␈ε,N
␈β]␈↓ ↓H␈ε#e␈α␈l␈α↓lipse␈α␈s.␈α
The␈αab␈α␈o␈α␈v␈α}e␈αa␈α␈re␈αb␈α␈on␈α␈a|␈α␈de␈αli␈α↓sts.]␈αNotice␈αtha␈α␈t␈αth␈α␈i␈α↓s␈αpo␈α␈lyn␈α␈omial␈αm␈α␈ay␈αb␈α␈e␈αo␈α␈f␈αarb␈α␈itrary
␈β∧␈↓ ↓H␈ε#len␈α␈gth␈α␈,␈α∂an␈α␈d␈α∞still␈α∞use␈α
this␈α∞form␈α␈at␈α∞↑␈α
this␈α∞is␈α∞on␈α␈e␈α∞b␈α␈ig␈α∞ad␈α␈va␈α␈n␈α␈ta␈α␈ge␈α∞in␈α
l␈α↓ist␈α∞stru␈α␈ctu␈α␈res.␈α∀If␈α∞th␈α␈is
␈β,␈↓ ↓H␈ε#p␈α␈olyn␈α␈om␈α␈i␈α↓a␈α␈l␈α
i␈α↓s␈α	spa␈α␈rse,␈α
(i␈α↓.e.␈αm␈α␈ost␈α
co␈α␈e}cien␈α}ts␈α
a␈α␈re␈α
0,)␈α
it␈α
ma␈α␈y␈α
b␈α␈e␈α
m␈α␈ore␈α
sp␈α␈ace␈α	e}c␈α␈i␈α↓e␈α␈n␈α␈t␈α
to␈α	store
␈βO␈↓ 	 ␈ε,i
␈βS␈↓ ↓H␈ε#a␈α
li␈α↓s␈α␈t␈α∞of␈ε3␈α∞CO␈α␈NS␈ε#ed␈α
p␈α␈airs.␈α∀Ea␈α␈ch␈α
of␈α∞th␈α␈ese␈α∞p␈α␈airs␈α∞re␈α␈f␈α↓e␈α␈rs␈α∞to␈α
a␈α∞term␈α␈,␈↓ λj␈ε)a␈↓ 	∧␈ε)X␈↓ 	8␈ε#in␈α
the␈α
poly␈α␈nom␈α␈i␈α↓a␈α␈l
␈β↑␈↓ λy␈ε,i
␈β{␈↓ ↓H␈ε#fo␈α␈r␈αwh␈α␈i␈α↓c␈α␈h␈αthe␈αcoe␈α␈}cien␈α}t␈αis␈αn␈α␈on␈α␈-trivial.␈α
Th␈α␈e␈↓ εF␈ε)a␈↓ εb␈ε#pa␈α␈rt␈αh␈α␈olds␈αth␈α␈e␈αp␈α␈o␈α␈w␈α␈er,␈↓ 	&␈ε)i␈↓ 	2␈ε#,␈αof␈αthis␈αt␈α␈erm,␈αa␈α␈nd
␈β
∃␈↓ εF␈∧
∃εFα⊃
␈β
#␈↓ ↓H␈ε#th␈α␈e␈↓ α∧␈ε)d␈↓ α%␈ε#pa␈α␈rt,␈α⊂th␈α␈e␈α∂c␈α␈oe}c␈α␈i␈α↓e␈α␈n␈α␈t,␈↓ ∧`␈ε)a␈↓ ∧z␈ε#.␈α∃[The␈α∞pu␈α␈rists␈α∂will␈α∂rem␈α␈ark␈α∞th␈α␈i␈α↓s␈α∞qu␈α␈estion␈α∞a␈α␈sk␈α␈ed␈α∞for␈α∞a␈ε3␈α∞li␈α↓s␈α␈t
␈β
-␈↓ ∧o␈ε,i
␈β
<␈↓ α∧␈∧
<α∧α∪
␈β
J␈↓ ↓H␈ε#re␈α␈prese␈α␈n␈α␈tatio␈α␈n,␈α
a␈α␈nd␈αea␈α␈ch␈αme␈α␈m␈α␈be␈α␈r␈α
o␈α␈f␈α
th␈α␈is␈α
list␈αi␈α↓s␈αrea␈α␈l␈α↓ly␈αa␈αm␈α␈ore␈αge␈α␈nera␈α␈l␈α
S␈α␈-␈α↓e␈α␈xp␈α␈ression␈α␈.␈α∂W␈α↓e
␈β
r␈↓ ↓H␈ε#c␈α␈ould␈α
ap␈α␈pea␈α␈se␈α∞su␈α␈ch␈α∞a␈α
critism␈α∞b␈α␈y␈α∞rep␈α␈lacin␈α␈g␈α∞ea␈α␈ch␈α∞te␈α␈rm␈α∞in␈α∞th␈α␈e␈α∞list␈α∞b␈α␈y␈α∞a␈α
l␈α↓ist,␈α∂a␈α␈nd␈α
use␈α
i␈α↓t␈α␈s
␈β∞→␈↓ ↓H␈ε)a␈↓ ↓e␈ε#an␈α␈d␈↓ α'␈ε)d␈↓ α:␈ε)a␈↓ αW␈ε#pa␈α␈rts␈α
for␈α
th␈α␈e␈α
p␈α␈o␈α␈w␈α␈er␈α
an␈α␈d␈αcoe}␈α␈cien␈α␈t,␈α
respe␈α␈ctiv␈α␈ely␈α␈.␈α↓]␈α⊂Or␈α
w␈α␈e␈α
co␈α␈uld␈α
u␈α␈se␈α
th␈α␈is␈α
same
␈β∞3␈↓ ↓H␈∧∞3↓Hα⊃␈↓ α'␈∧∞3α'α∪␈↓ α:␈∧∞3α:α⊃
␈β∞=␈↓ λ;␈ε,s␈↓ λF␈ε,t␈↓ λv␈ε,r␈↓ 	β␈ε,d␈↓ 	8␈ε,t␈↓ 	A␈ε,h
␈β∞A␈↓ ↓H␈ε#a␈α␈pp␈α␈roac␈α␈h,␈α
a␈α␈nd␈αg␈α␈en␈α␈eral␈αa␈αl␈α↓ist␈αof␈αsimp␈α␈l␈α↓e␈αn␈α}um␈α␈b␈α␈ers,␈α
wh␈α␈ere␈αth␈α␈e␈↓ λ*␈ε#1␈↓ λP␈ε#,␈↓ λf␈ε#3␈↓ 	⊃␈ε#,␈↓ 	'␈ε#5␈↓ 	O␈ε#,␈αand␈αso␈αon␈αh␈α␈old
␈β∞d␈↓ π5␈ε,n␈↓ πE␈ε,d␈↓ πx␈ε,t␈↓ λ↓␈ε,h␈↓ λ3␈ε,t␈↓ λ<␈ε,h
␈β∞i␈↓ ↓H␈ε#th␈α␈e␈α
e␈α␈xp␈α␈one␈α␈n␈α␈ts␈α	of␈α
th␈α␈e␈α
ter␈α␈ms␈α
wh␈α␈ose␈α	coe}␈α␈ci␈α↓e␈α␈n␈α␈t␈α
is␈α	the␈↓ π$␈ε#2␈↓ πT␈ε#,␈↓ πg␈ε#4␈↓ λ∂␈ε#,␈↓ λ"␈ε#6␈↓ λJ␈ε#,␈↓ λ]␈ε#.␈αε.␈α¬.␈↓ 	∧␈ε#.␈α
[␈α↓EG:␈α
On␈α␈e␈α
su␈α␈gg␈α␈estion
␈β∂.␈↓ ε:␈ε"2
␈β⊃∂

␈β↓P␈↓ βJ␈ε&7␈↓ ∧)␈ε&3
␈β↓T␈↓ ↓H␈ε#w␈α␈o␈α␈uld␈αrep␈α␈resen␈α}t␈↓ β9␈ε)x␈↓ β↑␈ε#+␈αλ3␈↓ ∧_␈ε)x␈↓ ∧=␈ε7␈␈ε#␈αλ5␈↓ ∧w␈ε)x␈↓ ¬∀␈ε#a␈α␈s␈ε3␈α(␈α(7␈α.␈α1)␈α(3␈α.␈α3)␈α(1␈α.␈α-5)␈α)␈ε#,␈αor␈ε3␈α(␈α(7␈α1)␈α(3␈α3)␈α(1␈α-␈α↓5␈α␈)␈α)␈ε#␈αin␈αi␈α↓t␈α␈s
␈β↓{␈↓ ↓H␈ε#|␈α␈rst␈αmo␈α␈di|ca␈α␈tion;␈αor␈αsimp␈α␈ly␈ε3␈α(7␈α1␈α3␈α
3␈α1␈α-5)␈ε#␈αin␈αth␈α␈e␈αseco␈α␈nd␈α␈.]
␈βα#␈↓ α␈ε#As␈αa␈α␈l␈α↓l␈α
poly␈α␈no␈α␈mial␈αare␈α
fac␈α␈torab␈α␈le,␈αon␈α␈e␈αco␈α␈uld␈α
also␈α
en␈α␈cod␈α␈e␈αa␈α
p␈α␈olyn␈α␈omial␈αa␈α␈s␈αa␈α
list␈αof␈α
i␈α↓t␈α␈s
␈βαK␈↓ ↓H␈ε#ro␈α␈ots,␈α	prec␈α␈ede␈α␈d␈α	b␈α␈y␈α	its␈α	lea␈α␈ding␈αλ(scaling␈α␈)␈α	coe␈α␈}cien␈α␈t.␈α
As␈α	th␈α␈i␈α↓s␈α	m␈α␈ay␈αλrequ␈α␈ire␈α	co␈α␈mplex␈αλn␈α␈u␈α␈m␈α␈b␈α␈ers,
␈βαr␈↓ ↓H␈ε#o␈α␈ne␈αsh␈α␈ou␈α␈l␈α↓d␈α
pro␈α}vide␈α
f␈α↓o␈α␈r␈αan␈αe␈α␈nco␈α␈ding␈α
for␈↓ εε␈ε)a␈↓ ε≡␈ε#+␈↓ εG␈ε)b␈↓ εT␈ε)␈ ␈↓ εj␈ε#↑␈α
f␈α↓o␈α␈r␈αexa␈α␈mp␈α␈l␈α↓e,␈αas␈ε3␈α(a␈α
.␈αb␈α␈)␈ε#.
␈ββ~␈↓ α␈ε#On␈α␈e␈αcan␈αp␈α␈ro␈α␈v␈α␈i␈α↓d␈α␈e␈αy␈α␈e␈α␈t␈αo␈α␈ther␈αa␈α␈nsw␈α␈ers␈αto␈αth␈α␈is␈αq␈α␈uest␈α␈i␈α↓o␈α␈n␈αif␈αso␈α␈me␈αoth␈α␈er␈αkn␈α␈o␈α␈wledg␈α␈e␈αab␈α␈ou␈α␈t
␈ββ=␈↓ 
~␈ε,r␈↓ 
&␈ε,d␈↓ '␈ε,t␈↓ 1␈ε,h
␈ββA␈↓ ↓H␈ε#th␈α␈is␈α∞pr␈α␈oblem␈α
is␈α∞assu␈α␈med␈α
↑␈α
for␈α∞ex␈α␈am␈α␈ple,␈α∂k␈α␈no␈α}wi␈α↓n␈α␈g,␈ε0␈α∂a␈α
p␈α␈ri␈α↓o␈α␈ri␈ε#,␈α∂tha␈α␈t␈α∞on␈α␈ly␈α∞th␈α␈e␈↓ 

␈ε#3␈↓ 
C␈ε#a␈α␈nd␈α
1␈↓ ↔␈ε#7
␈ββi␈↓ ↓H␈ε#te␈α␈rms␈αmay␈α
va␈α␈ry,␈αw␈α␈e␈αcou␈α␈ld␈αjus␈α␈t␈αe␈α␈nco␈α␈de␈αth␈α␈ese␈αt␈α␈w␈α␈o␈αv␈α␈alue␈α␈s␈αi␈α↓n␈α
a␈αli␈α↓st␈α␈.
␈β∧⊃␈↓ α␈ε#If␈α
w␈α␈e␈α
k␈α␈no␈α␈w␈α
e␈α␈ach␈αcoe␈α␈}cien␈α␈t␈αi␈α↓s␈α
a␈αna␈α␈tura␈α␈l␈α
n␈α␈um␈α}ber,␈α
w␈α␈e␈α
co␈α␈uld␈α
b␈α␈e␈α
cu␈α␈te,␈α
and␈αap␈α␈ply␈αthe
␈β∧8␈↓ ↓H␈ε#fo␈α␈l␈α↓lo␈α␈win␈α␈g␈αpro␈α␈ced␈α␈ure,␈αp␈α␈l␈α↓u␈α␈ck␈α␈e␈α␈d␈αfrom␈αthe␈αn␈α}um␈α}ber␈αth␈α␈eorist's␈αb␈α␈ag␈αo␈α␈f␈αtri␈α↓c␈α␈ks:␈α
As␈αb␈α␈ack␈α␈grou␈α␈nd␈α␈,
␈β∧`␈↓ ↓H␈ε#th␈α␈e␈ε0␈αFu␈α␈nd␈α␈amen␈α}tal␈αTh␈α␈eory␈αof␈αArithm␈α␈etic␈ε#␈αstat␈α␈es␈αtha␈α␈t␈αev␈α}ery␈αnatu␈α␈ral␈αn␈α}um␈α␈b␈α␈er␈αh␈α␈as␈αa␈αun␈α␈ique
␈β¬π␈↓ ↓H␈ε#p␈α␈rime␈α∞fac␈α␈tor␈α∞d␈α␈ecom␈α␈position␈α␈.␈α∀Tha␈α␈t␈α∞i␈α↓s,␈α∂a␈α␈n␈α␈y␈↓ ε?␈ε)n␈↓ εa␈ε72␈↓ π	␈ε7N␈↓ π4␈ε#ca␈α␈n␈α∞b␈α␈e␈α∞exp␈α␈ressed␈α
as␈α∞th␈α␈e␈α∞p␈α␈rod␈α␈uct␈α∞o␈α␈f
␈β¬⊃␈↓ ¬e␈ε↓Q
␈β¬+␈↓ ε1␈ε,a
␈β¬/␈↓ ↓H␈ε#p␈α␈o␈α␈w␈α␈ers␈α∞o␈α␈f␈α∞distinc␈α␈t␈α∞prime␈α␈s:␈α⊃i.␈α↓e␈α␈.␈↓ ¬∀␈ε)n␈↓ ¬6␈ε#=␈↓ ε↔␈ε)p␈↓ εI␈ε#,␈α∞where␈α
these␈↓ λ≠␈ε)p␈↓ λC␈ε#are␈α∞p␈α␈rimes,␈α∂a␈α␈nd␈α
all␈↓ 
j␈ε)a␈↓ ∩␈ε#are
␈β¬3␈↓ ε>␈ε-i
␈β¬:␈↓ ε'␈ε,i␈↓ λ+␈ε,i␈↓ 
z␈ε,i
␈β¬B␈↓ επ␈ε,i
␈β¬W␈↓ ↓H␈ε#n␈α␈atu␈α␈ral␈α
n␈α␈u␈α␈m␈α␈be␈α␈rs,␈α(on␈α␈ly␈α
a␈α
|␈α␈nite␈α
n␈α␈u␈α␈m␈α␈be␈α␈r␈α
of␈α
which␈α
a␈α␈re␈α
no␈α␈n-zero␈α␈).␈αW␈α↓e␈α
c␈α␈an␈α
th␈α␈erefo␈α␈re␈α
enc␈α␈ode
␈β¬}␈↓ ↓H␈ε#th␈α␈e␈αin␈α␈teg␈α␈er␈αli␈α↓st␈↓ β'␈ε7h␈↓ β9␈ε)a␈↓ β]␈ε)a␈↓ ∧␈ε7↓␈αε↓␈αε↓␈↓ ∧4␈ε)a␈↓ ¬↓␈ε)a␈↓ ¬(␈ε7i␈↓ ¬>␈ε#be␈αth␈α␈e␈αun␈α␈ique␈α
i␈α↓n␈α}tege␈α␈r,
␈βε	␈↓ βI␈ε&1␈↓ βl␈ε&2␈↓ ∧C␈ε,n␈↓ ∧T␈ε:␈␈ε&1␈↓ ¬⊂␈ε,n
␈βε,␈↓ π∀␈ε↓Y
␈βεL␈↓ πx␈ε,a
␈βεR␈↓ ∧n␈ε)n␈↓ εT␈ε#=␈↓ π↑␈ε)p␈↓ λ∂␈ε#,
␈βεT␈↓ λ¬␈ε-i
␈βε\␈↓ πm␈ε,i
␈βε]␈↓ ¬↓␈ε:h␈↓ ¬
␈ε,a␈↓ ¬*␈ε,a␈↓ ¬F␈ε:↓↓↓␈↓ ¬←␈ε,a␈↓ ε!␈ε,a␈↓ εB␈ε:i
␈βεd␈↓ ε.␈ε-n
␈βεe␈↓ ¬~␈ε'1␈↓ ¬7␈ε'2␈↓ ¬l␈ε-n␈↓ ¬|␈ε;␈␈ε'␈α␈1
␈βπβ␈↓ ε}␈ε&1<␈↓ π$␈ε,i␈↓ π/␈ε&<␈↓ πH␈ε,n
␈βπV␈↓ β7␈ε,t␈↓ βA␈ε,h
␈βπZ␈↓ ↓H␈ε#wh␈α␈ere␈↓ α)␈ε)p␈↓ αO␈ε#is␈αth␈α␈e␈↓ β+␈ε)i␈↓ βZ␈ε#prime␈α←␈αi.␈α↓e.␈α
(␈↓ ¬1␈ε)p␈↓ ¬M␈ε#,␈↓ ¬b␈ε)p␈↓ ¬}␈ε#,␈↓ ε∩␈ε)p␈↓ ε4␈ε)p␈↓ εP␈ε#.␈αε.␈αε.␈↓ ε␈␈ε#)␈α=␈α
(␈αλ2,␈αε3␈α␈,␈αε5,␈αε7␈α␈,␈↓ λQ␈ε#.␈αε.␈αε.␈↓ 	␈ε#).␈α
A␈αmin␈α␈or␈αa␈α␈nn␈α␈o␈α␈ya␈α␈nce
␈βπe␈↓ α8␈ε,i␈↓ ¬A␈ε&0␈↓ ¬q␈ε&1␈↓ ε"␈ε&2␈↓ εD␈ε&3
␈βλα␈↓ ↓H␈ε#a␈α␈rises␈α
wh␈α␈en␈αthes␈α␈e␈α
lists␈α
a␈α␈re␈α
o␈α␈f␈α
arb␈α␈i␈α↓t␈α␈rary␈αleng␈α␈th,␈α
as␈αthe␈α␈re␈α
w␈α␈ou␈α␈ld␈αbe␈αno␈αway␈αto␈αde␈α␈termine
␈βλ)␈↓ ↓H␈ε#wh␈α␈eth␈α␈er␈αth␈α␈e␈αlist␈αof␈αlen␈α␈gth␈↓ ∧G␈ε)n␈↓ ∧[␈ε#,␈αo␈α␈r␈αof␈αleng␈α␈th,␈αsa␈α␈y,␈↓ εu␈ε)n␈↓ π⊂␈ε#+␈αλ3,␈αwhe␈α␈n␈αthe␈αlast␈α3␈αte␈α␈rms␈αw␈α␈ere␈αall␈α0␈α␈.
␈βλQ␈↓ ↓H␈ε#Th␈α␈e␈αsimple␈αso␈α␈l␈α↓u␈α␈tion␈αis␈αto␈αe␈α␈nco␈α␈de␈αth␈α␈is␈αl␈α↓e␈α␈ngth␈α␈,␈↓ εX␈ε)n␈↓ εl␈ε#,␈αa␈α␈s␈αw␈α␈e␈α␈l␈α↓l:␈αSo
␈βλ⎇␈↓ πZ␈ε↓Y
␈β	≥␈↓ π∧␈ε,n␈↓ λ>␈ε,a
␈β	#␈↓ ∧'␈ε7h␈↓ ∧:␈ε)a␈↓ ∧]␈ε)a␈↓ ¬↓␈ε7↓␈αε↓␈α¬↓␈↓ ¬5␈ε)a␈↓ εα␈ε)a␈↓ ε)␈ε7i␈↓ ε=␈ε7)␈↓ εh␈ε)p␈↓ π≤␈ε7α␈↓ λ$␈ε)p␈↓ λV␈ε#.
␈β	%␈↓ λK␈ε-i
␈β	-␈↓ ∧I␈ε&1␈↓ ∧m␈ε&2␈↓ ¬D␈ε,n␈↓ ¬T␈ε:␈␈ε&␈α↓1␈↓ ε⊃␈ε,n␈↓ εw␈ε&0␈↓ λ4␈ε,i
␈β	T␈↓ πD␈ε&1␈ε:∀␈↓ πj␈ε,i␈↓ πu␈ε:∀␈↓ λ∞␈ε,n
␈β
'␈↓ 	∂␈ε,t␈↓ 	→␈ε,h
␈β
+␈↓ ↓H␈ε#Th␈α␈is␈α	allo␈α␈ws␈α	a␈αλpo␈α␈l␈α↓y␈α␈no␈α␈mial␈α	to␈αλbe␈αλenco␈α␈de␈α␈d␈α	in␈α␈to␈αλa␈αλsi␈α↓n␈α␈gle␈α	in␈α}teger␈αλ↑␈α	th␈α␈is␈↓ λ{␈ε)n␈↓ 	/␈ε#d␈α␈egree␈αλpo␈α␈l␈α↓y␈α␈no␈α␈mial,
␈β
N␈↓ αv␈ε,n␈↓ ∧_␈ε,n␈↓ ∧(␈ε:␈␈ε&1
␈β
S␈↓ ↓H␈ε)P␈↓ ↓←␈ε#(␈↓ ↓j␈ε)x␈↓ ↓|␈ε#)␈α	=␈↓ α;␈ε)a␈↓ αZ␈ε)X␈↓ β∞␈ε#+␈↓ β6␈ε)a␈↓ β|␈ε)X␈↓ ∧U␈ε#+␈↓ ∧}␈ε7↓␈αε↓␈α¬↓␈↓ ¬2␈ε#+␈↓ ¬Z␈ε)a␈↓ ¬v␈ε)X␈↓ ε→␈ε#+␈↓ εB␈ε)a␈↓ ε↑␈ε#,␈αwo␈α␈uld␈αb␈α␈e␈αma␈α␈pp␈α␈ed␈αin␈α␈to
␈β
]␈↓ αJ␈ε,n␈↓ βF␈ε,n␈↓ βV␈ε:␈␈ε&1␈↓ ¬j␈ε&1␈↓ εQ␈ε&0
␈β↓␈↓ εw␈ε↓Y
␈β ␈↓ ε ␈ε,n␈↓ πZ␈ε,a
␈β&␈↓ ¬␈ε)n␈↓ ¬Y␈ε#=␈↓ ε∧␈ε)p␈↓ ε8␈ε7α␈↓ π@␈ε)p␈↓ πr␈ε#.
␈β(␈↓ πg␈ε-i
␈β1␈↓ ε∀␈ε&0␈↓ πP␈ε,i
␈β2␈↓ ¬≡␈ε,P␈↓ ¬1␈ε&(␈↓ ¬9␈ε,x␈↓ ¬H␈ε&)
␈βW␈↓ εa␈ε&1␈ε:␈α␈∀␈↓ πε␈ε,i␈↓ π⊃␈ε:∀␈↓ π*␈ε,n
␈β-␈↓ ↓H␈ε#Th␈α␈is␈αλco␈α␈uld␈απth␈α␈en␈απbe␈ε0␈απlisti␈α↓|␈α␈ed␈ε#␈απin␈α␈to␈ε3␈απ(␈↓ ¬∩␈ε)n␈↓ ¬W␈ε3)␈ε#.␈α
On␈α␈e␈αλc␈α␈ould␈απa␈α␈l␈α↓so␈απu␈α␈nd␈α␈o␈απan␈α␈y␈αεspac␈α␈e-sav␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈απthis␈απmeth␈α␈od
␈β8␈↓ ¬%␈ε,P␈↓ ¬8␈ε&(␈↓ ¬@␈ε,x␈↓ ¬N␈ε&)
␈βT␈↓ ↓H␈ε#m␈α␈i␈α↓g␈α␈h␈α␈t␈α	ha␈α␈v␈α␈e␈α	ach␈α␈i␈α↓e␈α␈v␈α␈ed␈α	b␈α␈y␈α	repr␈α␈esen␈α␈tin␈α␈g␈α	this␈α
n␈α}um␈α}ber,␈↓ π!␈ε)n␈↓ πf␈ε#,␈α
a␈α␈s␈α
a␈α	li␈α↓st␈α	of␈α	this␈α	man␈α}y␈ε3␈α	T␈ε#s.␈α[I␈α↓.E.␈α
1
␈β`␈↓ π4␈ε,P␈↓ πG␈ε&(␈↓ πO␈ε,x␈↓ π]␈ε&)
␈β|␈↓ ↓H␈ε#w␈α␈o␈α␈uld␈α	ma␈α␈p␈α	on␈α}to␈ε3␈α	(␈α	T␈α
)␈ε#,␈α	2␈α	on␈α␈to␈ε3␈αλ(T␈α
T)␈ε#,␈↓ ¬Q␈ε#.␈α¬.␈αε.␈↓ ¬x␈ε#,␈α	and␈α␈,␈α
as␈α	e␈α␈xp␈α␈ected␈α␈,␈α
0␈ε7␈α	)␈ε3␈α
()␈ε#.]␈αOf␈α	co␈α␈urse,␈α	the␈α	rq␈α␈uired
␈β
#␈↓ ↓H␈ε#sto␈α␈rag␈α␈e␈α
sp␈α␈ace␈α	migh␈α}t␈α
po␈α␈se␈α
a␈α	min␈α␈or␈α
p␈α␈rob␈α␈lem␈α
h␈α␈ere,␈α
b␈α␈ut␈α	true␈α	Num␈α␈b␈α␈er␈α	T␈α↓h␈α␈eo␈α␈ri␈α↓sts␈α	w␈α␈ou␈α␈l␈α↓d␈α	n␈α␈ev␈α␈e␈α␈r
␈β
K␈↓ ↓H␈ε#c␈α␈onsid␈α␈er␈αthis␈αa␈αlimitation␈↓ ∧4␈ε#.␈αε.␈αε.␈↓ ∧[␈ε#.
␈β
s␈↓ α␈ε#Similar␈α∞me␈α␈cha␈α␈nisms␈α∞ca␈α␈n␈α∞b␈α␈e␈α∞used␈α
to␈α∞en␈α␈cod␈α␈e␈α∞po␈α␈l␈α↓y␈α␈no␈α␈mials␈α∞of␈α∞man␈α}y␈α∞v␈α␈ariab␈α␈l␈α↓e␈α␈s.␈α∃Here
␈β∞~␈↓ ↓H␈ε#th␈α␈ere␈α	is␈α	no␈α	re␈α␈ady␈αλord␈α␈ering␈α	a␈α␈nalog␈α␈ou␈α␈s␈α
t␈α␈o␈α	one␈α	e␈α␈xp␈α␈l␈α↓o␈α␈i␈α↓t␈α␈ed␈α	in␈α	th␈α␈e␈α	|rst␈α	solu␈α␈ti␈α↓o␈α␈n␈α	↑␈α	wh␈α␈ere␈α	simply
␈β∞B␈↓ ↓H␈ε#th␈α␈e␈α
co␈α␈e}cien␈α}ts␈α
are␈α
listed␈α
b␈α␈y␈α
th␈α␈e␈α
as␈α␈cend␈α␈ing␈α
o␈α␈rde␈α␈r␈α
of␈α
the␈α
s␈α␈ole␈α
va␈α␈ri␈α↓a␈α␈ble.␈α⊃An␈α
a␈α␈nsw␈α␈er␈α
is␈α
to
␈β∞i␈↓ ↓H␈ε#re␈α␈prese␈α␈n␈α␈t␈αea␈α␈ch␈αterm␈αin␈αthe␈αpo␈α␈l␈α↓y␈α␈no␈α␈mial␈αas␈αa␈αterm␈αin␈αa␈αli␈α↓st.␈α
If␈αmost␈αad␈α␈den␈α␈ds␈αuse␈αm␈α␈ost␈αo␈α␈f
␈β∂.␈↓ ε:␈ε"3
␈β⊃∂

␈β↓N␈↓ ∧[␈ε,i␈↓ ¬␈ε,i␈↓ ¬a␈ε,i
␈β↓S␈↓ ↓H␈ε#th␈α␈e␈α	v␈α␈ariab␈α␈l␈α↓e␈α␈s,␈α
th␈α␈i␈α↓s␈↓ βQ␈ε)a␈↓ ∧?␈ε)X␈↓ ∧o␈ε)X␈↓ ¬∨␈ε7↓␈αε↓␈α¬↓␈↓ ¬F␈ε)X␈↓ ε␈ε#term␈α	c␈α␈ould␈αλbe␈αλrepre␈α␈sen␈α␈te␈α␈d␈α	b␈α␈y␈α	th␈α␈e␈α	list␈ε3␈α	(i␈↓ 
L␈ε3i␈↓ 
k␈ε7↓␈αε↓␈α¬↓␈↓ ≠␈ε3i
␈β↓U␈↓ ∧d␈ε'1␈↓ ¬∀␈ε'2␈↓ ¬j␈ε-M
␈β↓]␈↓ βa␈ε,i␈↓ βu␈ε,i␈↓ ∧	␈ε:↓↓↓␈↓ ∧≡␈ε,i␈↓ 
7␈ε&1␈↓ 
U␈ε&2␈↓ $␈ε,M
␈β↓c␈↓ ∧[␈ε&1␈↓ ¬␈ε&2␈↓ ¬a␈ε,M
␈β↓e␈↓ βj␈ε'1␈↓ β}␈ε'2␈↓ ∧'␈ε-M
␈β↓z␈↓ ↓H␈ε3a␈↓ α@␈ε3)␈ε#.␈αWhe␈α␈n␈↓ β=␈ε)M␈↓ βi␈ε#=␈α
1␈αλthis␈α	redu␈α␈ces␈α	to␈α	o␈α␈ne␈α	o␈α␈f␈α
th␈α␈e␈α	case␈α␈s␈α
sh␈α␈o␈α␈wn␈α	a␈α␈bo␈α}v␈α␈e.␈αIf␈α	y␈α␈o␈α␈u␈α	ex␈α␈pec␈α␈t␈α
o␈α␈nly
␈βα¬␈↓ ↓X␈ε,i␈↓ ↓l␈ε,i␈↓ α↓␈ε:↓↓↓␈↓ α⊗␈ε,i
␈βα
␈↓ ↓a␈ε'1␈↓ ↓u␈ε'2␈↓ α≡␈ε-M
␈βα"␈↓ ↓H␈ε#a␈α	fe␈α␈w␈α
o␈α␈f␈α
th␈α␈e␈↓ αy␈ε)M␈↓ β%␈ε#va␈α␈ri␈α↓a␈α␈bles␈α	to␈α	b␈α␈e␈α
p␈α␈resen␈α}t␈α	i␈α↓n␈αλmost␈α	of␈α	th␈α␈e␈α
te␈α␈rms,␈α
(i.e.␈αh␈α␈av␈α␈e␈α	a␈α	n␈α␈on␈α␈-␈α↓z␈α␈ero␈α	p␈α␈o␈α␈w␈α␈er,)
␈βαI␈↓ ↓H␈ε#th␈α␈en␈α	sp␈α␈ace␈α	co␈α␈uld␈α	b␈α␈e␈α
sa␈α␈v␈α␈ed␈αλby␈α	ex␈α␈plicitly␈α	men␈α}ti␈α↓o␈α␈nin␈α␈g␈α	j␈α↓u␈α␈st␈α	tho␈α␈se␈α
v␈α␈ariab␈α␈les␈α	wi␈α↓th␈α	s␈α␈uch␈α	a␈α	n␈α␈on␈α␈-
␈βαm␈↓ ∧A␈ε&3
␈βαq␈↓ ↓H␈ε#triv␈α␈i␈α↓a␈α␈l␈α∞p␈α␈o␈α␈w␈α␈er.␈α∩So␈α␈,␈α∞i␈α↓f␈α
5.2␈↓ ∧%␈ε)x␈↓ ∧M␈ε)x␈↓ ∧w␈ε#wa␈α␈s␈α∞o␈α␈ne␈α
term␈α
in␈α
th␈α␈i␈α↓s␈α
p␈α␈olyn␈α␈omial␈α
o␈α␈v␈α}er␈α∞t␈α␈he␈α
fou␈α␈r␈α∞v␈α␈ariab␈α␈les,
␈βα|␈↓ ∧4␈ε&2␈↓ ∧]␈ε&4
␈ββ→␈↓ ↓H␈ε7f␈↓ ↓↑␈ε)x␈↓ ↓z␈ε#,␈↓ α	␈ε)x␈↓ α%␈ε#,␈↓ α3␈ε)x␈↓ αP␈ε#,␈↓ α↑␈ε)x␈↓ β␈ε7g␈↓ β⊃␈ε#,␈α
it␈αw␈α␈o␈α␈uld␈α
b␈α␈e␈α
repre␈α␈sen␈α␈ted␈α	by␈ε3␈α	(␈α↓2␈α	3␈α
4␈α
1␈α
5.2)␈ε#,␈α
where␈α
th␈α␈e␈α
|rst␈α
t␈α␈w␈α␈o␈α
term␈α␈s,␈α2␈α
a␈α␈nd
␈ββ#␈↓ ↓m␈ε&1␈↓ α_␈ε&2␈↓ αC␈ε&3␈↓ αn␈ε&4
␈ββ<␈↓ ¬9␈ε,r␈↓ ¬E␈ε,d␈↓ 	i␈ε&1
␈ββ@␈↓ ↓H␈ε#3␈α␈,␈α
mea␈α␈n␈α	th␈α␈at␈↓ βλ␈ε)x␈↓ β-␈ε#was␈α	raised␈αλto␈α	the␈↓ ¬)␈ε#3␈↓ ¬]␈ε#po␈α␈w␈α␈e␈α␈r,␈α
an␈α␈d␈α	th␈α␈e␈α	4␈α	an␈α␈d␈α	1␈α	refer␈α	to␈αλthe␈↓ 	X␈ε)x␈↓ 	␈␈ε#m␈α␈u␈α␈l␈α↓t␈α␈i␈α↓p␈α␈li␈α↓ca␈α␈nd␈α␈.
␈ββK␈↓ β_␈ε&2
␈ββO␈↓ 	i␈ε&4
␈ββh␈↓ ↓H␈ε#Th␈α␈e␈α|␈α␈na␈α␈l␈α
5␈α␈.2␈αis␈αth␈α␈e␈αco␈α␈e}cien␈α}t.␈α∞[If␈↓ ¬;␈ε)x␈↓ ¬M␈ε#,␈↓ ¬b␈ε)y␈↓ ¬t␈ε#,␈α
a␈α␈nd␈↓ εK␈ε)z␈↓ εY␈ε#s␈αw␈α␈e␈α␈re␈αus␈α␈ed,␈αth␈α␈ey␈αc␈α␈ould␈αbe␈αinserte␈α␈d␈αa␈α␈s␈αthe
␈β∧∂␈↓ ↓H␈ε#o␈α␈dd␈α
mem␈α␈b␈α␈ers␈αof␈αth␈α␈i␈α↓s␈αte␈α␈rms,␈αi␈α↓n␈α
l␈α↓e␈α␈i␈α↓u␈α
of␈αthe␈α
sub␈α␈scripts␈αn␈α␈o␈α␈w␈αuse␈α␈d.]
␈β∧7␈↓ α␈ε#On␈α␈e␈αrequ␈α␈iremen␈α}t␈αf␈α↓o␈α␈r␈αan␈α}y␈αen␈α␈cod␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈αsch␈α␈eme␈α
i␈α↓s␈αth␈α␈e␈αab␈α␈il␈α↓ity␈αt␈α␈o␈αdec␈α␈od␈α␈e␈αi␈α↓t␈αb␈α␈ack␈α
↑␈αin␈αth␈α␈is
␈β∧←␈↓ ↓H␈ε#c␈α␈ase,␈α∞in␈α␈to␈αthe␈α
p␈α␈olyn␈α␈omia␈α␈l␈α∞it␈α
was␈α
rep␈α␈resen␈α}ti␈α↓n␈α␈g.␈α⊃Henc␈α␈e␈α
on␈α␈e␈α
can␈αalways␈α
d␈α␈eterm␈α␈i␈α↓n␈α␈e␈α
if␈α∞t␈α␈w␈α␈o
␈β¬ε␈↓ ↓H␈ε#lists␈αre␈α␈prese␈α␈n␈α␈t␈αth␈α␈e␈αsa␈α␈me␈αpoly␈α␈nom␈α␈i␈α↓a␈α␈l:␈α
At␈αw␈α␈o␈α␈rst,␈αthis␈αca␈α␈n␈αbe␈αdon␈α␈e␈αb␈α␈y␈αde␈α␈cod␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈αb␈α␈oth␈αlists,
␈β¬.␈↓ ↓H␈ε#a␈α␈nd␈α
co␈α␈mpa␈α␈ri␈α↓n␈α␈g␈α
the␈α
resulta␈α␈n␈α␈t␈α∞p␈α␈olyn␈α␈om␈α␈i␈α↓a␈α␈l␈α↓s.␈α∪Of␈α
cou␈α␈rse,␈α∂th␈α␈is␈α∞ca␈α␈n␈α∞b␈α␈e␈α∞d␈α␈on␈α␈e␈α∞m␈α␈ore␈α∞e␈α␈asily␈α∞in
␈β¬U␈↓ ↓H␈ε#so␈α␈me␈αsch␈α␈emes␈αth␈α␈an␈α
i␈α↓n␈α
oth␈α␈ers.
␈βε>␈↓ ¬↔␈ε3Qu␈α␈estion␈ε7␈αq␈ε3␈α␈6␈α(Opt␈α␈i␈α↓o␈α␈nal).
␈βεw␈↓ λl␈ε&(␈α↓2␈↓ 	↓␈ε,n␈↓ 	∩␈ε:␈␈ε&2␈α␈)␈α↓!
␈βπ␈↓ ↓\␈ε1P␈α␈rov␈α␈e␈αλthat␈αλthe␈αλn␈α␈um␈α␈be␈α␈r␈α	of␈αλ\␈α↓shapes␈α␈"␈α	of␈α	S-expre␈α␈ssi␈α␈o␈α↓ns␈αλwith␈↓ πM␈ε*n␈↓ πh␈ε1atoms␈αλi␈α␈s␈↓ 	W␈ε1.␈α	(The␈αλt␈α␈w␈α␈o␈α	shapes
␈βπ∞␈↓ λ`␈∧π∞λ`αt
␈βπ⊃␈↓ λ`␈ε&[␈↓ λg␈ε,n␈↓ λw␈ε&!(␈↓ 	π␈ε,n␈↓ 	↔␈ε:␈␈ε&1)!]
␈βπ*␈↓ ↓l␈ε1of␈α
S-␈α↓e␈α␈xpress␈α␈ions␈α
with␈α
thre␈α␈e␈α
a␈α↓t␈α␈o␈α↓m␈α␈s␈α
a␈α↓re␈ε4␈α	(␈α↓A␈α
.␈α
(B␈α
.␈α
C))␈ε1␈αand␈ε4␈α
(␈α
(␈α↓A␈α
.␈α
B)␈α
.␈α
C))␈ε1.
␈βπT␈↓ ↓H␈ε2Answ␈α␈er
␈βπW␈↓ α]␈ε#No␈α}w␈αlet␈↓ βZ␈ε)s␈↓ ∧↓␈ε#b␈α␈e␈αth␈α␈e␈αn␈α␈u␈α␈m␈α␈be␈α␈r␈αo␈α␈f␈α\␈α␈shap␈α␈es"␈αo␈α␈f␈αS␈α␈-exp␈α␈ression␈α␈s␈αwith␈↓ 	Q␈ε)n␈↓ 	p␈ε#ato␈α␈ms.␈αBy␈αthe
␈βπY␈↓ α;␈ε1:
␈βπb␈↓ βe␈ε,n
␈βπq␈↓ ↓H␈∧πq↓Hαt
␈βπ␈␈↓ ↓H␈ε#d␈α␈e|␈α␈natio␈α␈n␈α
of␈α∞S␈α␈-exp␈α␈ression␈α␈s,␈α∂b␈α␈oth␈α
th␈α␈e␈↓ ¬r␈ε)a␈↓ ε⊂␈ε#and␈↓ εT␈ε)d␈↓ εt␈ε#p␈α␈arts␈α
of␈α
an␈α␈y␈α
S␈α␈-exp␈α␈ression␈α
with␈↓ 
F␈ε)n␈↓ 
g␈ε#atom␈α␈s
␈βλ→␈↓ ¬r␈∧λ→¬rα⊃␈↓ εT␈∧λ→εTα∪
␈βλ&␈↓ ↓H␈ε#(wh␈α␈en␈↓ α+␈ε)n␈↓ αJ␈ε#>␈α0,)␈α
will␈α
p␈α␈oin␈α␈t␈αto␈αsub␈α␈-S-ex␈α␈pressio␈α␈ns.␈α∞W␈α↓L␈α␈OG␈αth␈α␈e␈↓ λ.␈ε)a␈↓ λK␈ε#p␈α␈art␈αwil␈α↓l␈αlead␈αt␈α␈o␈↓ 
E␈ε)i␈↓ 
↑␈ε#ato␈α␈ms,
␈βλ@␈↓ λ.␈∧λ@λ.α⊃
␈βλN␈↓ ↓H␈ε#a␈α␈nd␈αλthe␈↓ α>␈ε)d␈↓ αY␈ε#part␈α␈,␈α
to␈↓ βP␈ε)n␈↓ βi␈ε7␈␈↓ ∧∂␈ε)i␈↓ ∧≤␈ε#.␈α
F␈α↓ro␈α␈m␈α	the␈αλde|␈α␈na␈α␈ti␈α↓o␈α␈n␈α	of␈α	th␈α␈ese␈↓ πQ␈ε)s␈↓ πi␈ε#s,␈α
th␈α␈ere␈α	are␈α	p␈α␈recisely␈↓ 
→␈ε)s␈↓ 
7␈ε#such␈αλsub␈α␈-
␈βλY␈↓ π\␈ε,k␈↓ 
$␈ε,i
␈βλh␈↓ α>␈∧λhα>α∪
␈βλv␈↓ ↓H␈ε#tre␈α␈es␈α	spro␈α␈uting␈α	fro␈α␈m␈α	this␈↓ ∧4␈ε)a␈↓ ∧N␈ε#pa␈α␈rt,␈α
an␈α␈d␈α	ind␈α␈epen␈α␈de␈α␈n␈α␈tly,␈↓ π=␈ε)s␈↓ λ¬␈ε#sha␈α␈pes␈α	from␈α	th␈α␈e␈↓ 	r␈ε)d␈↓ 
¬␈ε#.␈α
Th␈α␈us,␈α	there
␈β	␈↓ πH␈ε,n␈↓ πX␈ε:␈␈↓ πq␈ε,i
␈β	⊂␈↓ ∧4␈∧	⊂∧4α⊃␈↓ 	r␈∧	⊂	rα∪
␈β	≥␈↓ ↓H␈ε#a␈α␈re␈↓ α␈ε)s␈↓ α≡␈ε7α␈↓ αG␈ε)s␈↓ β∩␈ε#S-ex␈α␈pressio␈α␈n␈αwith␈↓ ¬∨␈ε)n␈↓ ¬?␈ε#a␈α␈toms,␈αwhere␈αthe␈↓ πG␈ε)a␈↓ πc␈ε#pa␈α␈rt␈αha␈α␈s␈αexa␈α␈ctly␈↓ 	↑␈ε)i␈↓ 	w␈ε#a␈α␈toms.␈α∞Th␈α␈i␈α↓s␈↓ 2␈ε)i
␈β	(␈↓ α␈ε,i␈↓ αR␈ε,n␈↓ αc␈ε:␈␈↓ α|␈ε,i
␈β	7␈↓ πG␈∧	7πGα⊃
␈β	E␈↓ ↓H␈ε#c␈α␈an␈αra␈α␈ng␈α␈e␈αf␈α↓r␈α␈om␈α1␈αu␈α␈p␈αto␈↓ ∧*␈ε)n␈↓ ∧F␈ε7␈␈ε#␈αλ1.␈α∞[␈α↓Bo␈α␈th␈α0␈αa␈α␈nd␈↓ εR␈ε)n␈↓ εr␈ε#w␈α␈ere␈αe␈α␈x␈α␈clu␈α␈ded␈αbec␈α␈ause␈αn␈α␈eithe␈α␈r␈αthe␈↓ 
r␈ε)a␈↓ ∞␈ε#no␈α␈r
␈β	←␈↓ 
r␈∧	←
rα⊃
␈β	l␈↓ ↓H␈ε#th␈α␈e␈↓ α↓␈ε)d␈↓ α∨␈ε#p␈α␈art␈αm␈α␈ay␈αlea␈α␈d␈αto␈α0␈α
atom␈α␈s.␈α↓]␈αTh␈α␈u␈α␈s,␈αwe␈α
hav␈α}e␈αthe␈α
recur␈α␈ranc␈α␈e␈αrelation␈α␈:
␈β
ε␈↓ α↓␈∧
εα↓α∪
␈β
/␈↓ ε"␈ε,n␈↓ ε#␈ε↓X␈↓ ε3␈ε:␈␈ε&1
␈β
T␈↓ ¬S␈ε)s␈↓ ¬x␈ε#=␈↓ ε↑␈ε)s␈↓ εt␈ε)s␈↓ _␈ε#(1␈α␈)
␈β
←␈↓ ¬↑␈ε,n␈↓ εi␈ε,i␈↓ ε␈␈ε,n␈↓ π∂␈ε:␈␈↓ π(␈ε,i
␈β¬␈↓ ε&␈ε,i␈↓ ε1␈ε&=␈↓ εJ␈ε,i
␈β9␈↓ ↓H␈ε#With␈αth␈α␈e␈αb␈α␈oun␈α␈da␈α␈ry␈αco␈α␈nd␈α␈iti␈α↓o␈α␈n,␈↓ ¬␈ε)s␈↓ ¬.␈ε#=␈α1,␈αw␈α␈e␈αmigh␈α}t␈αcon␈α␈si␈α↓d␈α␈er␈αth␈α␈i␈α↓s␈αp␈α␈rob␈α␈lem␈αsolv␈α}ed␈α-␈αa␈αp␈α␈roo␈α␈f
␈βD␈↓ ¬⊗␈ε&1
␈βa␈↓ ↓H␈ε#b␈α␈y␈α	ind␈α␈uction␈α␈.␈αPro␈α␈v␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈α	f␈α↓a␈α␈r␈α
to␈α␈o␈α
m␈α␈essy␈α␈,␈αit␈α	was␈α
a␈α␈ba␈α␈nd␈α␈on␈α␈ed␈α	i␈α↓n␈α	fa␈α␈v␈α␈or␈α	of␈α	the␈α	pro␈α␈of␈α
g␈α␈i␈α↓v␈α}en␈α	as␈α	the
␈βλ␈↓ ↓H␈ε#fo␈α␈l␈α↓lo␈α␈win␈α␈g␈αan␈α␈sw␈α␈er.
␈βq␈↓ ¬↔␈ε3Qu␈α␈estion␈ε7␈αq␈ε3␈α␈7␈α(Opt␈α␈i␈α↓o␈α␈nal).
␈β
)␈↓ ↓]␈ε1The␈αλa␈α↓bo␈α␈v␈α␈e␈α	re␈α␈sult␈αλcan␈α	also␈α	be␈αλo␈α↓bt␈α␈a␈α↓i␈α␈ned␈α	by␈αλw␈α↓r␈α␈iti␈α␈ng␈↓ εm␈ε*S␈↓ πλ␈ε$=␈↓ π/␈ε*A␈↓ πH␈ε$+␈↓ πl␈ε*S␈↓ λβ␈ε8α␈↓ λ'␈ε*S␈↓ λB␈ε1as␈α	an␈α	\␈α↓e␈α␈qua␈α↓ti␈α␈on"␈α
s␈α␈a␈α↓ti␈α␈s|ed␈αλby
␈β
I␈↓ ↓l␈ε1the␈απset␈αλof␈αλS-expres␈α␈sions␈αλwith␈αλthe␈απn␈α␈terpre␈α␈tation␈αλthat␈αλa␈α↓n␈αλS-expr␈α␈essi␈α␈o␈α↓n␈αλi␈α␈s␈αλei␈α␈ther␈αλan␈αλato␈α↓m␈απor␈αλa␈α	pair
␈β
d␈↓ 	h␈ε&2
␈β
j␈↓ ↓l␈ε1of␈αS-expre␈α␈ssi␈α␈o␈α↓ns.␈αThe␈α
next␈α
step␈α
is␈αt␈α␈o␈αrega␈α↓r␈α␈d␈αthe␈α
equa␈α↓t␈α␈ion␈αas␈αthe␈α
qua␈α↓drati␈α␈c␈↓ 	U␈ε*S␈↓ 	|␈ε8␈␈↓ 
"␈ε*S␈↓ 
;␈ε$+␈↓ 
a␈ε*A␈↓ 
␈␈ε$=␈α	0␈ε1,
␈β∞
␈↓ ↓l␈ε1sol␈α␈v␈α␈e␈αλi␈α␈t␈αλby␈αλthe␈απqua␈α↓dr␈α␈a␈α↓ti␈α␈c␈αλform␈α␈ul␈α␈a␈αλchoosing␈αλthe␈απm␈α␈in␈α␈us␈αλsi␈α␈gn␈αλfo␈α↓r␈απthe␈αλsquare␈απro␈α↓ot.␈α	The␈α␈n␈αλthe␈απra␈α↓di␈α␈cal
␈β∞&␈↓ βY␈ε&1
␈β∞+␈↓ ↓l␈ε1i␈α␈s␈απre␈α␈g␈α↓arded␈απas␈απthe␈↓ βp␈ε1po␈α␈w␈α␈er,␈απand␈απexpanded␈απby␈αεthe␈απbi␈α␈no␈α↓m␈α␈ial␈απt␈α␈heorem␈α␈.␈α	Manipul␈α␈a␈α↓ti␈α␈ng␈απthe␈απbi␈α␈no␈α↓m␈α␈ial
␈β∞8␈↓ βY␈∧∞8βYα
␈β∞:␈↓ βY␈ε&2
␈β∞F␈↓ πv␈ε,n
␈β∞K␈↓ ↓l␈ε1c␈α␈o␈α↓e␈α␈}c␈α␈ie␈α␈n␈α␈ts␈α
yie␈α␈lds␈α
the␈α	abov␈α␈e␈α
form␈α␈ul␈α␈a␈α
a␈α↓s␈α	the␈α
c␈α␈o␈α↓e␈α␈}c␈α␈ien␈α␈t␈α
of␈↓ πb␈ε*A␈↓ λ⊃␈ε1i␈α␈n␈α
the␈α
e␈α␈xpansion.␈α
W␈α␈h␈α␈y␈α
do␈α↓e␈α␈s␈α
this
␈β∞k␈↓ ↓l␈ε1som␈α}w␈α↓hat␈α
i␈α␈ll␈α␈-␈α↓m␈α␈otivated␈α
and␈α
irre␈α␈g␈α↓ul␈α␈ar␈αpr␈α␈o␈α↓c␈α␈edure␈α
gi␈α␈ve␈α	the␈α
ri␈α␈g␈α↓h␈α␈t␈α
answ␈α␈er?
␈β∂.␈↓ ε:␈ε"4
␈β⊃∂

␈β↓R␈↓ ↓H␈ε2Answ␈α␈er
␈β↓U␈↓ αc␈ε#\␈ε0␈α␈Ah,␈α∂the␈α∞w␈α␈o␈α␈nd␈α␈er␈α∞of␈α∞math␈α␈ema␈α␈ti␈α↓c␈α␈s␈ε#"␈α∞i␈α↓s␈α∞n␈α␈ot␈α∞the␈α∞d␈α␈esired␈α∞res␈α␈pon␈α␈se.␈α∃In␈α␈stead␈α␈,␈α⊂w␈α␈e
␈β↓W␈↓ α;␈ε1:
␈β↓o␈↓ ↓H␈∧↓o↓Hαt
␈β↓|␈↓ ↓H␈ε#will␈αsta␈α␈rt␈αwith␈αth␈α␈e␈αcon␈α␈dition␈α␈s␈αgiv␈α␈en␈αin␈αp␈α␈artial␈αan␈α␈sw␈α␈er␈αto␈ε0␈αQue␈α␈sti␈α↓o␈α␈n␈α6␈ε#.␈αNo␈α␈tice␈αthe␈αform␈αin
␈βα ␈↓ εO␈ε,n
␈βα$␈↓ ↓H␈ε0Eq␈α␈uatio␈α␈n␈αλ(1)␈ε#␈αλresem␈α␈b␈α␈les␈α	t␈α␈he␈αλcoe␈α␈}cien␈α}t␈α	o␈α␈f␈α	th␈α␈e␈↓ ε=␈ε)x␈↓ ε←␈ε#th␈αλte␈α␈rm␈αλof␈αλthe␈αλpr␈α␈odu␈α␈ct␈αλof␈αλt␈α␈w␈α␈o␈αλpo␈α␈l␈α↓y␈α␈no␈α␈mials;
␈βαK␈↓ ↓H␈ε#in␈α
b␈α␈oth␈α	case␈α␈s,␈αa␈α
su␈α␈m␈α
is␈α
tak␈α␈e␈α␈n␈α
o␈α␈v␈α}er␈α
tho␈α␈se␈α
terms␈α
wh␈α␈ose␈α
su␈α␈bscrip␈α␈ts␈α
sum␈α
to␈↓ 	R␈ε)n␈↓ 	f␈ε#.␈αHere␈α
on␈α␈l␈α↓y␈α	the
␈βαs␈↓ ↓H␈ε)i␈↓ ↓a␈ε#=␈α0␈α
an␈α␈d␈↓ αo␈ε)i␈↓ βλ␈ε#=␈↓ β5␈ε)n␈↓ βV␈ε#case␈α␈s␈α
ha␈α␈v␈α␈e␈α
b␈α␈een␈αomitted␈α␈.␈α⊃Wi␈α↓th␈αth␈α␈i␈α↓s␈α
a␈α␈s␈α
mo␈α␈ti␈α↓v␈α␈ation␈α␈,␈α∞let␈α
u␈α␈s␈α
de␈α␈|n␈α␈e␈α
the
␈ββ≠␈↓ ↓H␈ε#a␈α␈pp␈α␈rop␈α␈ri␈α↓a␈α␈te␈αpo␈α␈l␈α↓y␈α␈no␈α␈mial
␈ββ!␈↓ ε;␈ε↓X
␈ββ@␈↓ π"␈ε,n
␈ββF␈↓ ¬J␈ε)S␈↓ ¬←␈ε#(␈↓ ¬j␈ε)x␈↓ ¬{␈ε#)␈α	=␈↓ εv␈ε)s␈↓ π⊃␈ε)x␈↓ π3␈ε#.␈↓ _␈ε#(2␈α␈)
␈ββP␈↓ π↓␈ε,n
␈ββw␈↓ ε:␈ε,n␈↓ εJ␈ε:∃␈ε&0
␈β∧7␈↓ ↓H␈ε#As␈αa␈α|␈α␈rst␈α
c␈α␈omm␈α␈en␈α␈t,␈α
let␈↓ ∧'␈ε)s␈↓ ∧J␈ε#=␈α0.␈α∂Not␈αo␈α␈nly␈αwil␈α↓l␈αthis␈αsav␈α}e␈αsome␈αtro␈α␈ub␈α␈l␈α↓e␈αlate␈α␈r␈α
o␈α␈n,␈α
b␈α␈ut␈αth␈α␈is
␈β∧B␈↓ ∧2␈ε&0
␈β∧←␈↓ ↓H␈ε#\␈α␈n␈α␈u␈α␈m␈α␈be␈α␈r␈α
of␈α
s␈α␈hap␈α␈es␈α
o␈α␈f␈α
S␈α␈-␈α↓e␈α␈xp␈α␈ression␈α␈s␈α
with␈α0␈α
a␈α␈toms"␈αw␈α␈ou␈α␈l␈α↓d␈αb␈α␈e␈α
a␈αha␈α␈rd␈αto␈α
d␈α␈e|␈α␈ne␈αqua␈α␈n␈α␈tity
␈β∧⎇␈↓ ¬v␈ε&2
␈β¬π␈↓ ↓H␈ε#a␈α␈n␈α␈y␈α␈way.␈α
We␈αλthen␈απwi␈α↓s␈α␈h␈αλto␈αλco␈α␈nside␈α␈r␈↓ ¬:␈ε)S␈↓ ¬N␈ε#(␈↓ ¬Y␈ε)x␈↓ ¬j␈ε#)␈↓ εα␈ε#.␈αIf␈αλw␈α␈e␈αλassu␈α␈me␈αλth␈α␈i␈α↓s␈αλin|␈α␈nite␈αλse␈α␈que␈α␈nce␈αλis␈αλsu}␈α␈cien␈α␈tly
␈β¬.␈↓ ↓H␈ε#w␈α␈ell␈αbe␈α␈hav␈α}ed␈αto␈α
ran␈α␈dom␈α␈i␈α↓z␈α␈e␈αthe␈αo␈α␈rder␈αo␈α␈f␈αsumm␈α␈ation␈α␈,␈αw␈α␈e␈αm␈α␈ay␈αwrite␈αth␈α␈i␈α↓s␈αo␈α␈ut
␈β¬V␈↓ εM␈ε↓2␈↓ λ≠␈ε↓3
␈βελ␈↓ ε
␈ε↓X␈↓ ε]␈ε↓X␈↓ εo␈ε,n
␈βε↔␈↓ εM␈ε↓6␈↓ λ≠␈ε↓7
␈βε(␈↓ λ=␈ε,n
␈βε,␈↓ εM␈ε↓4␈↓ λ≠␈ε↓5
␈βε-␈↓ ∧0␈ε)S␈↓ ∧D␈ε#(␈↓ ∧O␈ε)x␈↓ ∧a␈ε#)␈ε7␈απα␈↓ ¬≤␈ε)S␈↓ ¬0␈ε#(␈↓ ¬;␈ε)x␈↓ ¬M␈ε#)␈α	=␈↓ π⊗␈ε)s␈↓ π4␈ε7α␈↓ π\␈ε)s␈↓ λ+␈ε)x␈↓ λM␈ε#.␈↓ _␈ε#(3␈α␈)
␈βε8␈↓ π!␈ε,i␈↓ πg␈ε,n␈↓ πx␈ε:␈␈↓ λ⊃␈ε,i
␈βε←␈↓ ε␈ε,n␈↓ ε≤␈ε:∃␈ε&0␈↓ ε←␈ε,i␈↓ εi␈ε&=0
␈βπ-␈↓ βA␈ε,t␈↓ βJ␈ε,h
␈βπ1␈↓ ↓H␈ε#Fo␈α␈r␈↓ απ␈ε)n␈↓ α$␈ε#>␈α	1,␈αthe␈↓ β-␈ε)n␈↓ βc␈ε#co␈α␈e}cien␈α}t␈αof␈αthis␈αp␈α␈rodu␈α␈ct␈αp␈α␈olyn␈α␈omial␈αca␈α␈n␈αb␈α␈e␈αwri␈α↓tte␈α␈n
␈βλλ␈↓ εS␈ε,n␈↓ εT␈ε↓X␈↓ εc␈ε:␈␈ε&␈α↓1
␈βλ-␈↓ ¬→␈ε#(2␈ε7␈απ↓␈↓ ¬M␈ε)s␈↓ ¬l␈ε7↓␈↓ ¬⎇␈ε)s␈↓ ε_␈ε#)␈απ+␈↓ π∂␈ε)s␈↓ π%␈ε)s␈↓ πd␈ε#.␈↓ _␈ε#(4␈α␈)
␈βλ8␈↓ ¬X␈ε&0␈↓ ελ␈ε,n␈↓ π~␈ε,i␈↓ π0␈ε,n␈↓ π@␈ε:␈␈↓ πY␈ε,i
␈βλ↑␈↓ εV␈ε,i␈↓ εa␈ε&=1
␈β	)␈↓ ↓H␈ε#No␈α␈ting␈αth␈α␈at␈↓ α␈␈ε)s␈↓ β ␈ε#=␈α	0,␈αw␈α␈e␈αma␈α␈y␈αign␈α␈ore␈αth␈α␈e␈α|rst␈αa␈α␈dd␈α␈end␈α
ab␈α␈o␈α␈v␈α␈e␈α␈,␈αlea␈α␈ving␈α
on␈α␈l␈α↓y␈α
the␈α
summ␈α␈ation
␈β	3␈↓ β
␈ε&0
␈β	P␈↓ ↓H␈ε#wh␈α␈ich,␈αb␈α␈y␈ε0␈α
Equa␈α␈tion␈α
(1)␈ε#␈αa␈α␈bo␈α}v␈α␈e,␈αm␈α␈ean␈α␈s␈αea␈α␈ch␈α
coe␈α␈}cien␈α␈t␈α
is␈αp␈α␈recisely␈↓ λz␈ε)s␈↓ 	 ␈ε#for␈α
all␈↓ 
↓␈ε)n␈↓ 
≡␈ε7∃␈ε#␈α
2,␈αa␈α␈nd␈α
0
␈β	[␈↓ 	¬␈ε,n
␈β	x␈↓ ↓H␈ε#fo␈α␈r␈↓ ↓{␈ε)n␈↓ α→␈ε#=␈α	0␈αan␈α␈d␈α1␈α␈.␈αPuttin␈α␈g␈αthis␈αto␈α␈geth␈α␈er,
␈β
∨␈↓ ε
␈ε↓X
␈β
?␈↓ εt␈ε,n
␈β
E␈↓ βU␈ε)S␈↓ βj␈ε#(␈↓ βu␈ε)x␈↓ ∧ε␈ε#)␈ε7␈αλα␈↓ ∧A␈ε)S␈↓ ∧V␈ε#(␈↓ ∧a␈ε)x␈↓ ∧r␈ε#)␈α	=␈↓ ¬1␈ε#.␈αε.␈αε.␈↓ ¬a␈ε#=␈↓ εG␈ε)s␈↓ εc␈ε)x␈↓ π∞␈ε#=␈↓ π8␈ε)S␈↓ πM␈ε#(␈↓ πX␈ε)x␈↓ πi␈ε#)␈ε7␈αλ␈␈ε#␈απ[␈↓ λ.␈ε)s␈↓ λE␈ε)x␈↓ λ↑␈ε#+␈↓ 	π␈ε)s␈↓ 	≡␈ε#]␈α↓.␈↓ _␈ε#(5␈α␈)
␈β
O␈↓ εR␈ε,n␈↓ λ9␈ε&1␈↓ 	∩␈ε&0
␈β
v␈↓ ε␈ε,n␈↓ ε≤␈ε&>1
␈βE␈↓ ↓H␈ε#As␈↓ ↓x␈ε)s␈↓ α→␈ε#=␈α	1␈αan␈α␈d␈↓ β ␈ε)s␈↓ βA␈ε#=␈α	0,␈αthis␈αmea␈α␈ns
␈βO␈↓ αβ␈ε&1␈↓ β+␈ε&0
␈βλ␈↓ ¬⎇␈ε&2
␈β∞␈↓ ¬A␈ε)S␈↓ ¬V␈ε#(␈↓ ¬a␈ε)x␈↓ ¬r␈ε#)␈↓ ε∪␈ε#=␈↓ ε>␈ε)S␈↓ εR␈ε#(␈↓ ε]␈ε)x␈↓ εo␈ε#)␈ε7␈απ␈␈↓ π*␈ε)x␈↓ π;␈ε#,␈↓ _␈ε#(6␈α␈)
␈βW␈↓ ↓H␈ε#wh␈α␈ich␈αis␈αbu␈α␈t␈αa␈αch␈α␈an␈α␈ge␈αof␈αv␈α␈ariab␈α␈l␈α↓e␈α␈s␈αf␈α↓r␈α␈om␈αth␈α␈e␈αequ␈α␈ation␈α
giv␈α␈en␈α␈.
␈β␈␈↓ α␈ε#We␈αo␈α␈nce␈αaga␈α␈in␈αth␈α␈ro␈α␈w␈αm␈α␈ath␈α␈ematica␈α␈l␈αcau␈α␈tion␈αto␈αthe␈αwi␈α↓n␈α␈d,␈αwith␈αthe␈αna␈↓ 	{␈ε#∪␈↓ 	}␈ε#␈↓ 
λ␈ε#v␈α}e␈αa␈α␈ssura␈α␈nce
␈β
&␈↓ ↓H␈ε#th␈α␈at␈α
th␈α␈is␈α
forma␈α␈l␈αp␈α␈o␈α␈w␈α␈er␈α
series␈α
c␈α␈an␈α
b␈α␈e␈α
ma␈α␈nipu␈α␈lated␈α	at␈α
will␈α↓,␈α
an␈α␈d␈α
a␈α␈l␈α↓l␈α
tra␈α␈nsform␈α␈ation␈α␈s␈α
wi␈α↓ll␈α
be
␈β
N␈↓ ↓H␈ε#v␈α␈alid.␈αHere␈α
w␈α␈e␈αreg␈α␈ard␈α
this␈α\␈↓ ∧Z␈ε)S␈↓ ∧o␈ε#(␈↓ ∧z␈ε)x␈↓ ¬␈ε#)"␈αa␈α␈s␈αa␈α
si␈α↓n␈α␈gle␈αv␈α␈ariab␈α␈le,␈αan␈α␈d␈αso␈α␈lv␈α␈e␈αth␈α␈e␈αq␈α␈ua␈α␈dra␈α␈ti␈α↓c␈α
equ␈α␈ation␈α␈,
␈β
u␈↓ ↓H␈ε#u␈α␈sing␈ε0␈αEq␈α␈uatio␈α␈n␈α(6)␈ε#␈αab␈α␈o␈α␈v␈α}e.␈αWe␈αge␈α␈t
␈β∞=␈↓ εV␈∧∞=εVα↓$
␈β∞>␈↓ ε4␈ε7p
␈β∞C␈↓ ¬t␈ε#1␈ε7␈απε␈↓ εV␈ε#1␈ε7␈απ␈␈ε#␈απ4␈ε7␈απ↓␈ε#␈αλ1␈ε7␈απ↓␈↓ πh␈ε)x
␈β∞Y␈↓ ¬␈ε)S␈↓ ¬∀␈ε#(␈↓ ¬ ␈ε)x␈↓ ¬1␈ε#)␈α	=␈↓ π⎇␈ε#.␈↓ _␈ε#(7␈α␈)
␈β∞g␈↓ ¬t␈∧∞g¬tααε
␈β∞q␈↓ εn␈ε#2
␈β∂.␈↓ ε:␈ε"5
␈β⊃∂

␈β↓I␈↓ βλ␈ε'1
␈β↓T␈↓ ↓H␈ε#Th␈α␈e␈α(1␈ε7␈απ␈␈ε#␈αλ4␈↓ αi␈ε)x␈↓ αz␈ε#)␈↓ β!␈ε#term␈αe␈α␈xp␈α␈and␈α␈s␈αto
␈β↓X␈↓ βλ␈∧↓Xβλα
␈β↓Z␈↓ βλ␈ε'2
␈β↓{␈↓ ¬E␈ε↓X
␈βα∧␈↓ εβ␈ε↓∩␈↓ ε6␈ε↓∪
␈βαπ␈↓ ε!␈ε&1
␈βα→␈↓ ε!␈∧α→ε!α
␈βα≠␈↓ ε!␈ε&2␈↓ π%␈ε,m
␈βα!␈↓ εL␈ε#(␈ε7␈␈ε#4␈↓ π	␈ε)x␈↓ π~␈ε#)␈↓ π=␈ε#.␈↓ _␈ε#(8␈α␈)
␈βα8␈↓ ε→␈ε)m
␈βαR␈↓ ¬@␈ε,m␈↓ ¬W␈ε:∃␈ε&␈α↓0
␈ββ∞␈↓ εH␈ε&*
␈ββ∩␈↓ ↓H␈ε#Ta␈α␈king␈α
the␈αsu␈α␈gg␈α␈ested␈↓ ∧⊃␈ε7␈␈↓ ∧E␈ε#ra␈α␈dical,␈αan␈α␈d␈αu␈α␈si␈α↓n␈α␈g
␈ββA␈↓ ∧y␈ε↓∩␈↓ ¬,␈ε↓∪␈↓ π*␈ε↓∩␈↓ πn␈ε↓∪
␈ββC␈↓ εV␈ε,m␈↓ εm␈ε:␈␈ε&1
␈ββD␈↓ ¬↔␈ε&1
␈ββG␈↓ ε
␈ε#(␈ε7␈␈ε#␈α↓1␈↓ εJ␈ε#)␈↓ π@␈ε#2␈↓ πQ␈ε)m
␈ββU␈↓ ¬↔␈∧βU¬↔α
␈ββW␈↓ ¬↔␈ε&2
␈ββ]␈↓ ¬K␈ε#=␈↓ λ∧␈ε#,␈↓ _␈ε#(9␈α␈)
␈ββk␈↓ ¬z␈∧βk¬zα↓-
␈ββr␈↓ ε
␈ε,m
␈ββu␈↓ ¬∂␈ε)m␈↓ ¬z␈ε#4␈↓ ε"␈ε#(2␈↓ ε=␈ε)m␈↓ εb␈ε7␈␈ε#␈αλ1␈α␈)␈↓ πH␈ε)m
␈β∧ ␈↓ ↓H␈ε#w␈α␈e␈αse␈α␈e␈↓ ∧T␈ε↓8␈↓ 	
␈ε↓9
␈β∧@␈↓ ∧T␈ε↓>␈↓ 	
␈ε↓>
␈β∧K␈↓ ∧T␈ε↓>␈↓ 	
␈ε↓>
␈β∧V␈↓ ∧T␈ε↓<␈↓ 	
␈ε↓=
␈β∧]␈↓ ¬1␈ε↓X
␈β∧f␈↓ ¬o␈ε↓∀␈↓ π2␈ε↓∩␈↓ πu␈ε↓∪␈↓ λ|␈ε↓∃
␈β∧h␈↓ ε]␈ε,m␈↓ εt␈ε:␈␈ε&1
␈β∧l␈↓ ∧@␈ε#1␈↓ ε∃␈ε#(␈ε7␈␈ε#1␈↓ εR␈ε#)␈↓ πH␈ε#2␈↓ πX␈ε)m
␈β∧|␈↓ λe␈ε,m
␈β¬α␈↓ βL␈ε)S␈↓ βa␈ε#(␈↓ βl␈ε)x␈↓ β⎇␈ε#)␈↓ ∧⊃␈ε#=␈↓ ∧l␈ε#1␈ε7␈απ␈␈↓ λ␈ε#(␈ε7␈α↓␈␈ε#4␈↓ λI␈ε)x␈↓ λZ␈ε#)
␈β¬⊂␈↓ ∧@␈∧¬⊂∧@α⊃␈↓ ε↓␈∧¬⊂ε↓α↓-
␈β¬↔␈↓ ∧T␈ε↓>␈↓ 	
␈ε↓>
␈β¬_␈↓ ε∩␈ε,m
␈β¬~␈↓ ∧@␈ε#2␈↓ ε↓␈ε#4␈↓ ε)␈ε#(2␈↓ εE␈ε)m␈↓ εi␈ε7␈␈ε#␈αλ1)␈↓ πP␈ε)m
␈β¬!␈↓ ∧T␈ε↓>␈↓ 	
␈ε↓>
␈β¬,␈↓ ∧T␈ε↓:␈↓ 	
␈ε↓;
␈β¬4␈↓ ¬-␈ε,m␈↓ ¬D␈ε:∃␈ε&0
␈β¬P␈↓ ∧T␈ε↓8␈↓ 	"␈ε↓9
␈β¬q␈↓ ∧T␈ε↓>␈↓ 	"␈ε↓>
␈β¬{␈↓ ∧T␈ε↓>␈↓ 	"␈ε↓>
␈βεε␈↓ ∧T␈ε↓<␈↓ 	"␈ε↓=
␈βε
␈↓ ¬1␈ε↓X
␈βε⊗␈↓ ¬o␈ε↓∀␈↓ πi␈ε↓∩␈↓ λ-␈ε↓∪␈↓ 	∀␈ε↓∃
␈βε_␈↓ εI␈ε,m␈↓ ε`␈ε:␈␈ε&␈α↓1␈↓ πN␈ε,m
␈βε≥␈↓ ∧@␈ε#1␈↓ ε↓␈ε#(␈ε7␈␈ε#1␈↓ ε>␈ε#)␈↓ πε␈ε#(␈ε7␈␈ε#␈α↓1␈↓ πC␈ε#)␈↓ π␈␈ε#2␈↓ λ⊂␈ε)m
␈βε-␈↓ λT␈ε,m␈↓ λ⎇␈ε,m
␈βε3␈↓ ∧⊃␈ε#=␈↓ ∧l␈ε#1␈ε7␈απ␈␈↓ λC␈ε#4␈↓ λk␈ε)x␈↓ π␈ε#(10␈α␈)
␈βεA␈↓ ∧@␈∧εA∧@α⊃␈↓ ε↓␈∧εAε↓α↓e
␈βεG␈↓ ∧T␈ε↓>␈↓ 	"␈ε↓>
␈βεH␈↓ ε.␈ε,m
␈βεJ␈↓ ∧@␈ε#2␈↓ ε≥␈ε#4␈↓ εE␈ε#(2␈↓ εa␈ε)m␈↓ π¬␈ε7␈␈ε#␈αλ1)␈↓ λλ␈ε)m
␈βεR␈↓ ∧T␈ε↓>␈↓ 	"␈ε↓>
␈βε]␈↓ ∧T␈ε↓:␈↓ 	"␈ε↓;
␈βεd␈↓ ¬-␈ε,m␈↓ ¬D␈ε:∃␈ε&0
␈βπ↓␈↓ ∧T␈ε↓8␈↓ λA␈ε↓9
␈βπ!␈↓ ∧T␈ε↓>␈↓ λA␈ε↓>
␈βπ,␈↓ ∧T␈ε↓>␈↓ λA␈ε↓>
␈βπ7␈↓ ∧T␈ε↓<␈↓ λA␈ε↓=
␈βπ>␈↓ ¬X␈ε↓X
␈βπG␈↓ ε⊗␈ε↓∀␈↓ π0␈ε↓∩␈↓ πt␈ε↓∪␈↓ λ3␈ε↓∃
␈βπM␈↓ ∧@␈ε#1␈↓ εb␈ε#1␈↓ πF␈ε#2␈↓ πW␈ε)m
␈βπ]␈↓ λ≤␈ε,m
␈βπc␈↓ ∧⊃␈ε#=␈↓ ∧l␈ε#1␈ε7␈απ␈␈αλ␈␈↓ λ
␈ε)x
␈βπq␈↓ ∧@␈∧πq∧@α⊃␈↓ ε(␈∧πqε(α↓¬
␈βπw␈↓ ∧T␈ε↓>␈↓ λA␈ε↓>
␈βπ{␈↓ ∧@␈ε#2␈↓ ε(␈ε#(2␈↓ εD␈ε)m␈↓ εh␈ε7␈␈ε#␈αλ1)␈↓ πO␈ε)m
␈βλα␈↓ ∧T␈ε↓>␈↓ λA␈ε↓>
␈βλ
␈↓ ∧T␈ε↓:␈↓ λA␈ε↓;
␈βλ∀␈↓ ¬T␈ε,m␈↓ ¬k␈ε:∃␈ε&0
␈βλW␈↓ ↓H␈ε#We␈αn␈α␈o␈α␈w␈αpu␈α␈ll␈αo␈α␈ut␈αth␈α␈e␈↓ β␈␈ε)m␈↓ ∧&␈ε#=␈α
0␈α
term,␈αan␈α␈d␈αsee␈α
i␈α↓t␈αeq␈α␈ua␈α␈l␈α↓s
␈β	ε␈↓ βt␈ε↓∩␈↓ ¬:␈ε↓∩␈↓ ε!␈ε↓∪␈↓ ε7␈ε↓∪␈↓ π↓␈ε↓∩␈↓ πP␈ε↓∩␈↓ πw␈ε↓∪␈↓ λ
␈ε↓∪
␈β	
␈↓ ∧Z␈ε#1␈↓ ¬P␈ε#2␈ε7␈απα␈ε#␈αλ0␈↓ π+␈ε#1␈↓ πf␈ε#0
␈β	#␈↓ εV␈ε#=␈↓ λ,␈ε#=␈ε7␈α
␈␈ε#1.␈↓ π␈ε#(11␈α␈)
␈β	1␈↓ ∧∞␈∧	1∧∞α↓)␈↓ π≠␈∧	1π≠α2
␈β	:␈↓ ∧∞␈ε#(2␈ε7␈απα␈ε#␈αλ0␈ε7␈απ␈␈ε#␈απ1)␈↓ ¬p␈ε#0␈↓ π≠␈ε7␈␈ε#1␈↓ πf␈ε#0
␈β	n␈↓ ↓H␈ε#Th␈α}us,␈αthis␈αp␈α␈o␈α␈w␈α␈er␈αseries␈αis:
␈β
≡␈↓ β←␈ε)S␈↓ βs␈ε#(␈↓ β}␈ε)x␈↓ ∧⊂␈ε#)␈↓ ∧$␈ε#=␈↓ ∧O␈ε#.␈αε.␈α¬.
␈β
&␈↓ ∧g␈ε↓8␈↓ 	∂␈ε↓9
␈β
F␈↓ ∧g␈ε↓>␈↓ 	∂␈ε↓>
␈β
Q␈↓ ∧g␈ε↓>␈↓ 	∂␈ε↓>
␈β
\␈↓ ∧g␈ε↓<␈↓ 	∂␈ε↓=
␈β
c␈↓ ε&␈ε↓X
␈β
l␈↓ εd␈ε↓∀␈↓ π␈␈ε↓∩␈↓ λB␈ε↓∪␈↓ 	↓␈ε↓∃
␈β
r␈↓ ∧R␈ε#1␈↓ π0␈ε#1␈↓ λ∃␈ε#2␈↓ λ%␈ε)m
␈βα␈↓ λj␈ε,m
␈βλ␈↓ ∧$␈ε#=␈↓ ∧␈␈ε#1␈απ+␈ε7␈αλ␈␈ε#1␈απ+␈↓ λX␈ε)x
␈β⊗␈↓ ∧R␈∧⊗∧Rα⊃␈↓ εv␈∧⊗εvα↓¬
␈β≥␈↓ ∧g␈ε↓>␈↓ 	∂␈ε↓>
␈β ␈↓ ∧R␈ε#2␈↓ εv␈ε#(2␈↓ π∩␈ε)m␈↓ π6␈ε7␈␈ε#␈αλ1)␈↓ λ≥␈ε)m
␈β'␈↓ ∧g␈ε↓>␈↓ 	∂␈ε↓>
␈β2␈↓ ∧g␈ε↓:␈↓ 	∂␈ε↓;
␈β4␈↓ π␈ε#(12␈α␈)
␈β:␈↓ ε"␈ε,m␈↓ ε9␈ε&>0
␈βh␈↓ ∧S␈ε↓X
␈βq␈↓ ¬⊃␈ε↓∀␈↓ ε<␈ε↓∩␈↓ π␈ε↓∪␈↓ π?␈ε↓∃
␈βw␈↓ ¬f␈ε#1␈↓ εR␈ε#2␈↓ εc␈ε)m
␈βλ␈↓ π(␈ε,m
␈β∞␈↓ ∧$␈ε#=␈↓ π⊗␈ε)x
␈β≤␈↓ ¬#␈∧≤¬#α↓⊗
␈β%␈↓ ¬#␈ε#2(2␈↓ ¬P␈ε)m␈↓ ¬t␈ε7␈␈ε#␈αλ1)␈↓ ε[␈ε)m
␈β?␈↓ ∧O␈ε,m␈↓ ∧f␈ε&>0
␈βz␈↓ ↓H␈ε#Th␈α}us␈αea␈α␈ch␈αc␈α␈oe}c␈α␈i␈α↓en␈α}t␈αof␈αth␈α␈i␈α↓s␈αp␈α␈olyn␈α␈omia␈α␈l␈α↓,␈αfor␈αall␈↓ π↓␈ε)n␈↓ π≡␈ε#>␈α
1,␈αis
␈β
)␈↓ ¬∩␈ε↓∩␈↓ ¬M␈ε↓∪
␈β
/␈↓ ¬(␈ε#2␈↓ ¬9␈ε)n␈↓ ε$␈ε#1␈↓ π4␈ε#(2␈↓ πP␈ε)n␈↓ πk␈ε7␈␈ε#␈αλ2)!
␈β
E␈↓ ∧C␈ε)s␈↓ ∧h␈ε#=␈↓ π␈ε#=␈↓ π␈ε#(13␈α␈)
␈β
P␈↓ ∧N␈ε,n
␈β
S␈↓ ¬f␈∧
S¬fα↓
␈↓ π.␈∧
Sπ.α↓∩
␈β
]␈↓ ¬0␈ε)n␈↓ ¬f␈ε#2(2␈↓ ε∪␈ε)n␈↓ ε.␈ε7␈␈ε#␈αλ1)␈↓ π.␈ε#(␈↓ π9␈ε)n␈↓ πT␈ε7␈␈ε#␈αλ1)!␈↓ λ"␈ε)n␈↓ λ6␈ε#!
␈β∞⊂␈↓ ↓H␈ε#,␈αas␈αd␈α␈esired␈α␈.␈ε3␈αQED
␈β∞8␈↓ ↓H␈∧∞8↓Hα↓X
␈β∞E␈↓ ↓H␈ε&*
␈β∞J␈↓ ↓T␈ε$Non-␈α↓be␈α␈li␈α␈ev␈α␈e␈α␈rs␈α
s␈α␈ho␈α↓ul␈α␈d␈α	consult␈ε4␈α	Kn␈α␈uth␈ε$,␈ε1␈α␈Vo␈α↓l␈αλI␈ε$,␈α	pag␈α↓e␈α␈s␈α	3␈α↓85-␈α↓389␈α
for␈α	this␈α	e␈α␈xpa␈α↓nsi␈α␈on,␈α	(␈α↓for␈ε1␈α	E␈α↓quation␈α	(8␈α↓)␈ε$,␈α␈)
␈β∞k␈↓ ↓H␈ε$and␈α
pag␈α↓e␈α
72␈α
f␈α↓or␈α
foll␈α␈owing␈α
equali␈α␈ty␈α
(␈α↓for␈ε1␈α
E␈α↓quation␈α
(9␈α↓)␈ε$.␈α␈)
␈β∂.␈↓ ε:␈ε"6
␈β⊃∂

␈β↓U␈↓ ¬g␈ε3Questio␈α␈n␈ε7␈αq␈ε38␈α␈.
␈βα
␈↓ ↓U␈ε1\Lisp␈αεfunc␈α␈tions␈αεoperate␈α¬upo␈α↓n␈αεS-e␈α␈xpressi␈α␈o␈α↓n,␈αεand␈αεare␈αεthe␈α␈mse␈α␈lv␈α␈e␈α␈s␈αεS-expres␈α␈sions."␈α	State␈α¬brie␈α␈⎇y␈αεwha␈α↓t
␈βα-␈↓ ↓l␈ε1thi␈α␈s␈απme␈α␈a␈α↓ns␈απfrom␈απeach␈απof␈αλthe␈απthre␈α␈e␈απpo␈α↓i␈α␈n␈α␈ts␈απo␈α↓f␈απvie␈α␈w:␈α	LISP␈απa␈α↓s␈απa␈αλm␈α␈athem␈α␈a␈α↓ti␈α␈cal␈απformali␈α␈sm␈α␈,␈αλLI␈α↓SP␈απas␈απa
␈βαM␈↓ ↓l␈ε1programm␈α␈ing␈αλlangua␈α↓ge␈αλfor␈αλArti|c␈α␈ial␈αλIn␈α␈tel␈α␈li␈α␈g␈α↓e␈α␈nce␈απa␈α↓ppl␈α␈ic␈α␈a␈α↓ti␈α␈ons,␈αλa␈α↓nd␈αλLISP␈αλa␈α↓s␈αλan␈αλim␈α␈ple␈α␈me␈α␈nt␈α␈a␈α↓ti␈α␈on
␈βαn␈↓ ↓l␈ε1l␈α␈ang␈α↓uage.
␈ββ&␈↓ ↓H␈ε2Answ␈α␈er
␈ββ)␈↓ αc␈ε#Th␈α␈is␈α∂is␈α∞the␈α∞v␈α␈o␈α␈nNe␈α␈uma␈α␈nn␈α∞c␈α␈onc␈α␈ept,␈α∂of␈α∞iden␈α}ti␈α↓c␈α␈al␈α∂in␈α␈struct␈α␈i␈α↓o␈α␈ns␈α∞an␈α␈d␈α∞da␈α␈ta␈α∞repre␈α␈-
␈ββ+␈↓ α;␈ε1:
␈ββC␈↓ ↓H␈∧βC↓Hαt
␈ββQ␈↓ ↓H␈ε#se␈α␈n␈α␈tatio␈α␈ns.␈α
As␈αλa␈αλma␈α␈them␈α␈atical␈αλform␈α␈alism,␈α	th␈α␈i␈α↓s␈αλp␈α␈ermits␈αλth␈α␈e␈αλthe␈απpro␈α␈cedu␈α␈res␈αλto␈απbe␈αλe␈α␈xam␈α␈i␈α↓n␈α␈ed
␈ββx␈↓ ↓H␈ε#a␈α␈s␈αma␈α␈the␈α␈matical␈α
obje␈α␈cts,␈αin␈α
the␈α
same␈α
ma␈α␈nn␈α␈er␈αa␈α␈s␈αot␈α␈her␈α
da␈α␈ta.␈αThese␈α
p␈α␈rogra␈α␈m-ob␈α␈jects␈α
can
␈β∧ ␈↓ ↓H␈ε#th␈α␈en␈απb␈α␈e␈απrea␈α␈dily␈απan␈α␈alys␈α␈i␈α↓ze␈α␈d.␈α
Prog␈α␈ram␈απVerica␈α␈ti␈α↓o␈α␈n,␈αλd␈α␈edica␈α␈ted␈απto␈απp␈α␈ro␈α␈v␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈απp␈α␈rogra␈α␈ms␈απ\c␈α␈orrect"␈α␈,
␈β∧G␈↓ ↓H␈ε#is␈α
an␈α
ex␈α␈amp␈α␈l␈α↓e␈α
of␈α
this␈α
i␈α↓n␈α
o␈α␈pera␈α␈tion.␈α∩F␈α↓ro␈α␈m␈α
an␈α
Arti|cial␈α
In␈α␈telli␈α↓g␈α␈enc␈α␈e␈α∞p␈α␈oin␈α␈t␈α
of␈α
view,␈α∞i␈α↓t␈α
is
␈β∧o␈↓ ↓H␈ε#o␈α␈ften␈αusefu␈α␈l␈α
to␈αman␈α␈i␈α↓p␈α␈ula␈α␈te␈α
th␈α␈e␈α
o␈α␈pera␈α␈tors,␈α
an␈α␈d␈αthere␈α␈by␈αe{ectiv␈α␈e␈α␈l␈α↓y␈αu␈α␈pd␈α␈ate␈αthe␈αcou␈α␈rse␈α
o␈α␈f
␈β¬↔␈↓ ↓H␈ε#a␈α␈ction␈α	to␈α	be␈α	tak␈α}en␈α	in␈α	a␈α
g␈α␈iv␈α␈en␈α	situa␈α␈tion.␈α
Autom␈α␈atic␈α
Pro␈α␈gram␈α␈ming␈α	is␈α
b␈α␈ased␈α	on␈α	th␈α␈is␈α
a␈α␈bili␈α↓ty␈α␈.
␈β¬>␈↓ ↓H␈ε#Th␈α␈ese␈α
tra␈α␈nsform␈α␈s,␈α∞do␈α␈ne␈α
u␈α␈si␈α↓n␈α␈g␈α
th␈α␈e␈α
same␈α
m␈α␈etho␈α␈ds␈α
wh␈α␈i␈α↓c␈α␈h␈α
ma␈α␈nipu␈α␈late␈α
con␈α}v␈α␈e␈α␈n␈α␈tion␈α␈al␈α
data␈α␈,
␈β¬f␈↓ ↓H␈ε#c␈α␈an␈αb␈α␈e␈αuse␈α␈d␈αto␈αu␈α␈pd␈α␈ate␈αe␈α␈v␈α␈en␈α
the␈αp␈α␈rogr␈α␈am␈αcu␈α␈rren␈α␈tly␈α
bein␈α␈g␈αrun␈α
itself␈α↓.
␈βε
␈↓ α␈ε#This␈α	f␈α↓a␈α␈cili␈α↓ty␈α	ma␈α␈k␈α␈es␈α	LISP␈α
a␈α	v␈α␈ery␈α	v␈α}ersatile␈α
a␈α␈nd␈α	e{ect␈α␈i␈α↓v␈α}e␈α
imp␈α␈l␈α↓e␈α␈men␈α}tation␈α	lan␈α␈gua␈α␈ge,␈α
a␈α␈s
␈βε5␈↓ ↓H␈ε#n␈α␈ew␈α
featu␈α␈res␈α
ca␈α␈n␈α
be␈α
a␈α␈dd␈α␈ed␈α
v␈α}ery␈α
ea␈α␈sil␈α↓y␈α␈.␈α∩Th␈α␈i␈α↓s␈α
a␈α␈l␈α↓lo␈α␈ws␈α
fo␈α␈r␈α∞e␈α␈asy␈α
b␈α␈oo␈α␈tstrap␈α␈ping␈α↑␈α
on␈α␈ce␈α
the
␈βε]␈↓ ↓H␈ε#c␈α␈ore␈αLISP␈α
fu␈α␈nc␈α␈ti␈α↓o␈α␈ns␈αh␈α␈av␈α␈e␈αb␈α␈een␈αimp␈α␈lemen␈α}ted,␈αthey␈αcan␈αb␈α␈e␈αuse␈α␈d␈αin␈αthe␈αd␈α␈e|␈α␈natio␈α␈n␈αof␈αthe
␈βπ∧␈↓ ↓H␈ε#re␈α␈st.␈α∩It␈α
also␈α
m␈α␈ean␈α␈s␈α
the␈α
sa␈α␈me␈α
forma␈α␈t␈α
can␈αbe␈α
u␈α␈sed␈α
to␈α
s␈α␈tore␈α
\so␈α␈urc␈α␈e"␈α
co␈α␈de␈α
as␈α
o␈α␈ther␈α
d␈α␈ata
␈βπ,␈↓ ↓H␈ε#with␈α␈i␈α↓n␈α
a␈αw␈α␈ork␈α
area␈α␈.
␈βπS␈↓ α␈ε#An␈α
o␈α␈ngo␈α␈ing␈α
d␈α␈eba␈α␈te␈α
ha␈α␈s␈α
l␈α↓o␈α␈ng␈α
ra␈α␈ged␈α	wi␈α↓th␈α␈in␈α
th␈α␈e␈α
AI␈αco␈α␈mm␈α␈u␈α␈nity␈α
o␈α␈n␈α
whe␈α␈ther␈α
th␈α␈e␈α
na␈α␈ture
␈βπ{␈↓ ↓H␈ε#o␈α␈f␈α	com␈α␈pu␈α␈ters␈α	c␈α␈an␈αλbe␈αλde|␈α␈ne␈α␈d␈α	in␈αλa␈ε0␈αλDeclara␈α␈ti␈α↓v␈α}e␈ε#␈α	v␈α}ersu␈α␈s␈α	a␈ε0␈αλP␈α↓ro␈α␈ced␈α␈ura␈α␈l␈ε#␈α	man␈α␈ner.␈α
[See␈αλWi␈α↓n␈α␈ston␈α␈'s
␈βλ#␈↓ ↓H␈ε#b␈α␈oo␈α␈k.]␈α
This␈απwh␈α␈ole␈απco␈α␈n␈α␈tro␈α}v␈α␈ersy␈αεha␈α␈s␈απmea␈α␈ning␈αεon␈α␈ly␈απin␈αεthe␈απc␈α␈on␈α␈t␈α␈ext␈απo␈α␈f␈απsuc␈α␈h␈απa␈αεL␈α↓IS␈α␈P-␈α↓lik␈α␈e␈αεsyste␈α␈m,
␈βλJ␈↓ ↓H␈ε#wh␈α␈ere␈αth␈α␈e␈αdistinc␈α␈ti␈α↓o␈α␈n␈αb␈α␈et␈α␈w␈α␈een␈αfu␈α␈nc␈α␈ti␈α↓o␈α␈ns␈αa␈α␈nd␈αd␈α␈ata␈α
can␈α
be␈αb␈α␈l␈α↓u␈α␈rred␈α␈.
␈β∂.␈↓ ε:␈ε"7
␈β⊃∂/FONT#1=cmathx[XGP,SYS]=∩∪∀∃ !23456789:;<=>QXYY/FONT#34=cmr10[XGP,SYS]=()12345677/FONT#35=cmr9[XGP,SYS]=∪!"'()+,-.0123456789:;=>ABCEFGHILMNOPSTVW[\]↑←abcdefghijklmnopqrstuvwxyz{|}}/FONT#36=cmr8[XGP,SYS]=()+,-./0235789=Nabcdefghilnopqrstuvwxyy/FONT#38=cmr6[XGP,SYS]=!()*+,.012347<=>[]]/FONT#39=cmr5[XGP,SYS]=1233/FONT#41=cmi9[XGP,SYS]= EILMNOPSTUXYabdimnpsxyzz/FONT#42=cmi8[XGP,SYS]=ASnuvxyzz/FONT#44=cmi6[XGP,SYS]=MNPXYadhikmnrstxyy/FONT#45=cmi5[XGP,SYS]=Minn/FONT#48=cms9[XGP,SYS]="(),-.126:<>ADEFGPQTW\↑abcdefhijlmnopqrstuvwxy||/FONT#49=cms8[XGP,SYS]="(),-.89:?ACEHILMPRSTVW\abcdefghiklmnopqrstuvwxy|⎇}}/FONT#50=cmb10[XGP,SYS]=.1AQeinorstuww/FONT#51=cmb9[XGP,SYS]=()-.012345678ABCDEILMNOPQRSTUVWXYZabeilnopstuu/FONT#52=cmb8[XGP,SYS]=()-.23ABCDEFIKLMNOPQRSTUWXYhntuu/FONT#54=cmsy10[XGP,SYS]=qq/FONT#55=cmsy9[XGP,SYS]=↓αε∃)2Nfghipqq/FONT#56=cmsy8[XGP,SYS]=αα/FONT#58=cmsy6[XGP,SYS]=↓∀∃hii/FONT#59=cmsy5[XGP,SYS]=/FONT#60=cmtitl[XGP,SYS]=,-0179ADPSbeilmnoprstuww